{l}{x+y=1}{x+t^2y=t} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array}{l}{ x + y = 1 }\\{ x + t ^ { 2 } y = t }\end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{t}{t+1}\text{, }y=\frac{1}{t+1}\text{, }&t\neq -1\\x=1-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&t=1\end{matrix}\right.$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$x+y=1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$x=-y+1$$

Башка тигезләмәдә x урынына -y+1 куегыз, x+t^{2}y=t.

$$-y+1+t^{2}y=t$$

-y'ны t^{2}y'га өстәгез.

$$\left(t^{2}-1\right)y+1=t$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 1 алыгыз.

$$\left(t^{2}-1\right)y=t-1$$

Ике якны -1+t^{2}-га бүлегез.

$$y=\frac{1}{t+1}$$

\frac{1}{t+1}'ны y өчен x=-y+1'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{t+1}+1$$

1'ны -\frac{1}{t+1}'га өстәгез.

$$x=\frac{t}{t+1}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t^{2}}{t^{2}-1}&-\frac{1}{t^{2}-1}\\-\frac{1}{t^{2}-1}&\frac{1}{t^{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t^{2}}{t^{2}-1}+\left(-\frac{1}{t^{2}-1}\right)t\\-\frac{1}{t^{2}-1}+\frac{1}{t^{2}-1}t\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t}{t+1}\\\frac{1}{t+1}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, x+t^{2}y=t'ны x+y=1'нан алыгыз.

$$x-x+y+\left(-t^{2}\right)y=1-t$$

x'ны -x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, x һәм -x шартлар кыскартылган.

$$y+\left(-t^{2}\right)y=1-t$$

y'ны -t^{2}y'га өстәгез.

$$\left(1-t^{2}\right)y=1-t$$

Ике якны 1-t^{2}-га бүлегез.

$$y=\frac{1}{t+1}$$

\frac{1}{t+1}'ны y өчен x+t^{2}y=t'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x+t^{2}\times \frac{1}{t+1}=t$$

t^{2}'ны \frac{1}{t+1} тапкыр тапкырлагыз.

$$x+\frac{t^{2}}{t+1}=t$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{t^{2}}{t+1} алыгыз.

$$x=\frac{t}{t+1}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$

x, y өчен чишелеш

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{t}{t+1}\text{, }y=\frac{1}{t+1}\text{, }&t\neq -1\\x=1-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&t=1\end{matrix}\right.$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$x+y=1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$x=-y+1$$

Башка тигезләмәдә x урынына -y+1 куегыз, x+t^{2}y=t.

$$-y+1+t^{2}y=t$$

-y'ны t^{2}y'га өстәгез.

$$\left(t^{2}-1\right)y+1=t$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 1 алыгыз.

$$\left(t^{2}-1\right)y=t-1$$

Ике якны -1+t^{2}-га бүлегез.

$$y=\frac{1}{t+1}$$

\frac{1}{1+t}'ны y өчен x=-y+1'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{t+1}+1$$

1'ны -\frac{1}{1+t}'га өстәгез.

$$x=\frac{t}{t+1}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t^{2}}{t^{2}-1}&-\frac{1}{t^{2}-1}\\-\frac{1}{t^{2}-1}&\frac{1}{t^{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t^{2}}{t^{2}-1}+\left(-\frac{1}{t^{2}-1}\right)t\\-\frac{1}{t^{2}-1}+\frac{1}{t^{2}-1}t\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t}{t+1}\\\frac{1}{t+1}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, x+t^{2}y=t'ны x+y=1'нан алыгыз.

$$x-x+y+\left(-t^{2}\right)y=1-t$$

x'ны -x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, x һәм -x шартлар кыскартылган.

$$y+\left(-t^{2}\right)y=1-t$$

y'ны -t^{2}y'га өстәгез.

$$\left(1-t^{2}\right)y=1-t$$

Ике якны 1-t^{2}-га бүлегез.

$$y=\frac{1}{t+1}$$

\frac{1}{t+1}'ны y өчен x+t^{2}y=t'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x+t^{2}\times \frac{1}{t+1}=t$$

t^{2}'ны \frac{1}{t+1} тапкыр тапкырлагыз.

$$x+\frac{t^{2}}{t+1}=t$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{t^{2}}{t+1} алыгыз.

$$x=\frac{t}{t+1}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$