{l}{x/3+y/4=5/6}{3x+20y/5-frac{8y+1}{3}=frac{12x+16y}{15}} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array}{l}{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 5 } { 6 } }\\{ \frac { 3 x + 20 y } { 5 } - \frac { 8 y + 1 } { 3 } = \frac { 12 x + 16 y } { 15 } }\end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=1$$

$$y=2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. Тигезләмәнең ике өлешен 12-га, 3,4,6'ның иң ким гомуми дәрәҗәсенә тапкырлагыз.

$$4x+3y=10$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. Тигезләмәнең ике өлешен 15-га, 5,3,15'ның иң ким гомуми дәрәҗәсенә тапкырлагыз.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3 3x+20y'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

-5 8y+1'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

20y алу өчен, 60y һәм -40y берләштерегз.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

12x'ны ике яктан алыгыз.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

-3x алу өчен, 9x һәм -12x берләштерегз.

$$-3x+20y-5=16y$$

16y'ны ике яктан алыгыз.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

4y алу өчен, 20y һәм -16y берләштерегз.

$$-3x+4y-5=0$$

Ике як өчен 5 өстәгез. Теләсә кайсы әйбергә нуль өстәлсә, шул ук әйбер булып чыга.

$$-3x+4y=5$$

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x+3y=10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$4x=-3y+10$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+10\right)$$

\frac{1}{4}'ны -3y+10 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2} куегыз, -3x+4y=5.

$$-3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y=5$$

-3'ны -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{9}{4}y-\frac{15}{2}+4y=5$$

\frac{9y}{4}'ны 4y'га өстәгез.

$$\frac{25}{4}y-\frac{15}{2}=5$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{15}{2} өстәгез.

$$\frac{25}{4}y=\frac{25}{2}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{25}{4} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{2}$$

-\frac{3}{4}'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{2}'ны -\frac{3}{2}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=1,y=2$$

Матрицаларны куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. Тигезләмәнең ике өлешен 12-га, 3,4,6'ның иң ким гомуми дәрәҗәсенә тапкырлагыз.

$$4x+3y=10$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. Тигезләмәнең ике өлешен 15-га, 5,3,15'ның иң ким гомуми дәрәҗәсенә тапкырлагыз.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3 3x+20y'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

-5 8y+1'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

20y алу өчен, 60y һәм -40y берләштерегз.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

12x'ны ике яктан алыгыз.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

-3x алу өчен, 9x һәм -12x берләштерегз.

$$-3x+20y-5=16y$$

16y'ны ике яктан алыгыз.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

4y алу өчен, 20y һәм -16y берләштерегз.

$$-3x+4y-5=0$$

Ике як өчен 5 өстәгез. Теләсә кайсы әйбергә нуль өстәлсә, шул ук әйбер булып чыга.

$$-3x+4y=5$$

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{4\times 4-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\times 4-3\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10-\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=1,y=2$$

Бетерүне куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. Тигезләмәнең ике өлешен 12-га, 3,4,6'ның иң ким гомуми дәрәҗәсенә тапкырлагыз.

$$4x+3y=10$$

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. Тигезләмәнең ике өлешен 15-га, 5,3,15'ның иң ким гомуми дәрәҗәсенә тапкырлагыз.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3 3x+20y'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

-5 8y+1'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

20y алу өчен, 60y һәм -40y берләштерегз.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

12x'ны ике яктан алыгыз.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

-3x алу өчен, 9x һәм -12x берләштерегз.

$$-3x+20y-5=16y$$

16y'ны ике яктан алыгыз.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

4y алу өчен, 20y һәм -16y берләштерегз.

$$-3x+4y-5=0$$

Ике як өчен 5 өстәгез. Теләсә кайсы әйбергә нуль өстәлсә, шул ук әйбер булып чыга.

$$-3x+4y=5$$

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

4x һәм -3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$-3\times 4x-3\times 3y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 4y=4\times 5$$

Гадиләштерегез.

$$-12x-9y=-30,-12x+16y=20$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -12x+16y=20'ны -12x-9y=-30'нан алыгыз.

$$-12x+12x-9y-16y=-30-20$$

-12x'ны 12x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -12x һәм 12x шартлар кыскартылган.

$$-9y-16y=-30-20$$

-9y'ны -16y'га өстәгез.

$$-25y=-30-20$$

-30'ны -20'га өстәгез.

$$-25y=-50$$

Ике якны -25-га бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен -3x+4y=5'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$-3x+4\times 2=5$$

4'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$-3x+8=5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 8 алыгыз.

$$-3x=-3$$

Ике якны -3-га бүлегез.

$$x=1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=1,y=2$$