{r}{5p-q=7}{-2p+3q=5} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { r } { 5 p - q = 7 } \\ { - 2 p + 3 q = 5 } \end{array} \right.$$

p, q өчен чишелеш

$$p=2$$

$$q=3$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, p'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, p өчен чишегез.

$$5p-q=7$$

Тигезләмәнең ике ягына q өстәгез.

$$5p=q+7$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$p=\frac{1}{5}\left(q+7\right)$$

\frac{1}{5}'ны q+7 тапкыр тапкырлагыз.

$$p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}$$

Башка тигезләмәдә p урынына \frac{7+q}{5} куегыз, -2p+3q=5.

$$-2\left(\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}\right)+3q=5$$

-2'ны \frac{7+q}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{2}{5}q-\frac{14}{5}+3q=5$$

-\frac{2q}{5}'ны 3q'га өстәгез.

$$\frac{13}{5}q-\frac{14}{5}=5$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{14}{5} өстәгез.

$$\frac{13}{5}q=\frac{39}{5}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{13}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$q=3$$

3'ны q өчен p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры p өчен чишә аласыз.

$$p=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

\frac{1}{5}'ны 3 тапкыр тапкырлагыз.

$$p=\frac{3+7}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{7}{5}'ны \frac{3}{5}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$p=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$p=2,q=3$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

p һәм q матрица элементларын чыгартыгыз.

$$p=2,q=3$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

5p һәм -2p тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$-2\times 5p-2\left(-1\right)q=-2\times 7,5\left(-2\right)p+5\times 3q=5\times 5$$

Гадиләштерегез.

$$-10p+2q=-14,-10p+15q=25$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -10p+15q=25'ны -10p+2q=-14'нан алыгыз.

$$-10p+10p+2q-15q=-14-25$$

-10p'ны 10p'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -10p һәм 10p шартлар кыскартылган.

$$2q-15q=-14-25$$

2q'ны -15q'га өстәгез.

$$-13q=-14-25$$

-14'ны -25'га өстәгез.

$$-13q=-39$$

Ике якны -13-га бүлегез.

$$q=3$$

3'ны q өчен -2p+3q=5'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры p өчен чишә аласыз.

$$-2p+3\times 3=5$$

3'ны 3 тапкыр тапкырлагыз.

$$-2p+9=5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 9 алыгыз.

$$-2p=-4$$

Ике якны -2-га бүлегез.

$$p=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$p=2,q=3$$