{l}{y=k(x+1)}{x^2/2+y^2=1} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k ( x + 1 ) } \\ { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(-\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}+1\right)}{2k^{2}+1}$$

$$x=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}}{2k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}+1\right)}{2k^{2}+1}$$

Алыштыруны һәм квадрат формуласын куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. k x+1'га тапкырлау өчен, бүлү үзлеген кулланыгыз.

$$y=kx+k$$

Башка тигезләмәдә y урынына kx+k куегыз, x^{2}+2y^{2}=2.

$$x^{2}+2\left(kx+k\right)^{2}=2$$

kx+k квадратын табыгыз.

$$x^{2}+2\left(k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}\right)=2$$

2'ны k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$x^{2}+2k^{2}x^{2}+4k^{2}x+2k^{2}=2$$

x^{2}'ны 2k^{2}x^{2}'га өстәгез.

$$\left(2k^{2}+1\right)x^{2}+4k^{2}x+2k^{2}=2$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2 алыгыз.

$$\left(2k^{2}+1\right)x^{2}+4k^{2}x+2k^{2}-2=0$$

Әлеге тигезләмә стандарт формасында: ax^{2}+bx+c=0. Квадрат формуласында 1+2k^{2}'ны a'га, 2\times 2kk'ны b'га һәм 2k^{2}-2'ны c'га алыштырыгыз, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4k^{2}±\sqrt{\left(4k^{2}\right)^{2}-4\left(2k^{2}+1\right)\left(2k^{2}-2\right)}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

2\times 2kk квадратын табыгыз.

$$x=\frac{-4k^{2}±\sqrt{16k^{4}-4\left(2k^{2}+1\right)\left(2k^{2}-2\right)}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

-4'ны 1+2k^{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-4k^{2}±\sqrt{16k^{4}+\left(-8k^{2}-4\right)\left(2k^{2}-2\right)}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

-4-8k^{2}'ны 2k^{2}-2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-4k^{2}±\sqrt{16k^{4}+8+8k^{2}-16k^{4}}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

16k^{4}'ны -16k^{4}+8k^{2}+8'га өстәгез.

$$x=\frac{-4k^{2}±\sqrt{8k^{2}+8}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

8k^{2}+8'нан квадрат тамырын чыгартыгыз.

$$x=\frac{-4k^{2}±2\sqrt{2k^{2}+2}}{2\left(2k^{2}+1\right)}$$

2'ны 1+2k^{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-4k^{2}±2\sqrt{2k^{2}+2}}{4k^{2}+2}$$

Хәзер ± плюс булганда, x=\frac{-4k^{2}±2\sqrt{2k^{2}+2}}{4k^{2}+2} тигезләмәсен чишегез. -4k^{2}'ны 2\sqrt{2k^{2}+2}'га өстәгез.

$$x=\frac{-4k^{2}+2\sqrt{2k^{2}+2}}{4k^{2}+2}$$

-4k^{2}+2\sqrt{2k^{2}+2}'ны 2+4k^{2}'га бүлегез.

$$x=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}$$

Хәзер ± минус булганда, x=\frac{-4k^{2}±2\sqrt{2k^{2}+2}}{4k^{2}+2} тигезләмәсен чишегез. 2\sqrt{2k^{2}+2}'ны -4k^{2}'нан алыгыз.

$$x=\frac{-4k^{2}-2\sqrt{2k^{2}+2}}{4k^{2}+2}$$

-4k^{2}-2\sqrt{2k^{2}+2}'ны 2+4k^{2}'га бүлегез.

$$x=-\frac{2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}$$

x өчен ике чишелеш бар: \frac{-2k^{2}+\sqrt{2+2k^{2}}}{1+2k^{2}} һәм -\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+2k^{2}}. Ике тигезләмәне дә канәгатьләндерүче y өчен туры килүче чишелешне табу өчен, y=kx+k тигезләмәсендә x урынына \frac{-2k^{2}+\sqrt{2+2k^{2}}}{1+2k^{2}} куегыз.

$$y=k\times \frac{-2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}+k$$

k'ны \frac{-2k^{2}+\sqrt{2+2k^{2}}}{1+2k^{2}} тапкыр тапкырлагыз.

$$y=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}k+k$$

Хәзер y=kx+k тигезләмәсендә -\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+2k^{2}} урынына x куегыз һәм ике тигезләмәне дә канәгатьләндерүче y өчен туры килүче чишелешне табу өчен, чишегез.

$$y=k\left(-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}\right)+k$$

k'ны -\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{1+k^{2}}\right)}{1+2k^{2}} тапкыр тапкырлагыз.

$$y=\left(-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}\right)k+k$$

Система хәзер чишелгән.

$$y=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}k+k,x=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2k^{2}+2}}{2k^{2}+1}\text{ or }y=\left(-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}\right)k+k,x=-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}$$

x, y өчен чишелеш (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}k^{2}+\sqrt{k^{2}+1}\right)}{2k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(-\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}+1\right)}{2k^{2}+1}\text{; }x=\frac{-2k^{2}+\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}}{2k^{2}+1}\text{, }y=\frac{k\left(\sqrt{2\left(k^{2}+1\right)}+1\right)}{2k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{\sqrt{2}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{2}i}{2}\\x=\frac{1-k^{2}}{2k^{2}}\text{, }y=\frac{k^{2}+1}{2k}\text{, }&k=-\frac{\sqrt{2}i}{2}\text{ or }k=\frac{\sqrt{2}i}{2}\end{matrix}\right.$$