{l}{x-4y=5}{-2x-y=4} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 4 y = 5 } \\ { - 2 x - y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = -\frac{11}{9} = -1\frac{2}{9} \approx -1.222222222$$

$$y = -\frac{14}{9} = -1\frac{5}{9} \approx -1.555555556$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$x-4y=5,-2x-y=4$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$x-4y=5$$

Тигезләмәнең ике ягына 4y өстәгез.

$$x=4y+5$$

Башка тигезләмәдә x урынына 4y+5 куегыз, -2x-y=4.

$$-2\left(4y+5\right)-y=4$$

-2'ны 4y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$-8y-10-y=4$$

-8y'ны -y'га өстәгез.

$$-9y-10=4$$

Тигезләмәнең ике ягына 10 өстәгез.

$$-9y=14$$

Ике якны -9-га бүлегез.

$$y=-\frac{14}{9}$$

-\frac{14}{9}'ны y өчен x=4y+5'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=4\left(-\frac{14}{9}\right)+5$$

4'ны -\frac{14}{9} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{56}{9}+5$$

5'ны -\frac{56}{9}'га өстәгез.

$$x=-\frac{11}{9}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{11}{9},y=-\frac{14}{9}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$x-4y=5,-2x-y=4$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}&-\frac{-4}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 5-\frac{4}{9}\times 4\\-\frac{2}{9}\times 5-\frac{1}{9}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{9}\\-\frac{14}{9}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{11}{9},y=-\frac{14}{9}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$x-4y=5,-2x-y=4$$

x һәм -2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га тапкырлагыз.

$$-2x-2\left(-4\right)y=-2\times 5,-2x-y=4$$

Гадиләштерегез.

$$-2x+8y=-10,-2x-y=4$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -2x-y=4'ны -2x+8y=-10'нан алыгыз.

$$-2x+2x+8y+y=-10-4$$

-2x'ны 2x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -2x һәм 2x шартлар кыскартылган.

$$8y+y=-10-4$$

8y'ны y'га өстәгез.

$$9y=-10-4$$

-10'ны -4'га өстәгез.

$$9y=-14$$

Ике якны 9-га бүлегез.

$$y=-\frac{14}{9}$$

-\frac{14}{9}'ны y өчен -2x-y=4'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$-2x-\left(-\frac{14}{9}\right)=4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{14}{9} алыгыз.

$$-2x=\frac{22}{9}$$

Ике якны -2-га бүлегез.

$$x=-\frac{11}{9}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{11}{9},y=-\frac{14}{9}$$