{l}{x+y=200}{x/9+y/49/200=8/100} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 200 } \\ { \frac { \frac { x } { 9 } + \frac { y } { 49 } } { 200 } = \frac { 8 } { 100 } } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{657}{5} = 131\frac{2}{5} = 131.4$$

$$y = \frac{343}{5} = 68\frac{3}{5} = 68.6$$

Алыштыруны куллану адымнары

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. Тигезләмәнең ике өлешен 200-га, 200,100'ның иң ким гомуми дәрәҗәсенә тапкырлагыз.

$$\frac{x}{9}+\frac{y}{49}=2\times 8$$

Аңлатмаларны өстәү яки алу өчен, аларның ваклаучыларын бертөрле итү өчен җәегез. 9 һәм 49-нең иң ким гомуми кабатлы саны — 441. \frac{x}{9}'ны \frac{49}{49} тапкыр тапкырлагыз. \frac{y}{49}'ны \frac{9}{9} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{49x}{441}+\frac{9y}{441}=2\times 8$$

\frac{49x}{441} һәм \frac{9y}{441} бер ук ваклаучы булгач, аларны, санаучыларын өстәп, өстәгез.

$$\frac{49x+9y}{441}=2\times 8$$

16 алу өчен, 2 һәм 8 тапкырлагыз.

$$\frac{49x+9y}{441}=16$$

\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y алу өчен, 49x+9y'ның һәр шартын 441'га бүлегез.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$x+y=200,\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$x+y=200$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$x=-y+200$$

Башка тигезләмәдә x урынына -y+200 куегыз, \frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16.

$$\frac{1}{9}\left(-y+200\right)+\frac{1}{49}y=16$$

\frac{1}{9}'ны -y+200 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{1}{9}y+\frac{200}{9}+\frac{1}{49}y=16$$

-\frac{y}{9}'ны \frac{y}{49}'га өстәгез.

$$-\frac{40}{441}y+\frac{200}{9}=16$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{200}{9} алыгыз.

$$-\frac{40}{441}y=-\frac{56}{9}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{40}{441} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{343}{5}$$

\frac{343}{5}'ны y өчен x=-y+200'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{343}{5}+200$$

200'ны -\frac{343}{5}'га өстәгез.

$$x=\frac{657}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{657}{5},y=\frac{343}{5}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. Тигезләмәнең ике өлешен 200-га, 200,100'ның иң ким гомуми дәрәҗәсенә тапкырлагыз.

$$\frac{x}{9}+\frac{y}{49}=2\times 8$$

Аңлатмаларны өстәү яки алу өчен, аларның ваклаучыларын бертөрле итү өчен җәегез. 9 һәм 49-нең иң ким гомуми кабатлы саны — 441. \frac{x}{9}'ны \frac{49}{49} тапкыр тапкырлагыз. \frac{y}{49}'ны \frac{9}{9} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{49x}{441}+\frac{9y}{441}=2\times 8$$

\frac{49x}{441} һәм \frac{9y}{441} бер ук ваклаучы булгач, аларны, санаучыларын өстәп, өстәгез.

$$\frac{49x+9y}{441}=2\times 8$$

16 алу өчен, 2 һәм 8 тапкырлагыз.

$$\frac{49x+9y}{441}=16$$

\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y алу өчен, 49x+9y'ның һәр шартын 441'га бүлегез.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$x+y=200,\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{49}}{\frac{1}{49}-\frac{1}{9}}&-\frac{1}{\frac{1}{49}-\frac{1}{9}}\\-\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{49}-\frac{1}{9}}&\frac{1}{\frac{1}{49}-\frac{1}{9}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{40}&\frac{441}{40}\\\frac{49}{40}&-\frac{441}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{40}\times 200+\frac{441}{40}\times 16\\\frac{49}{40}\times 200-\frac{441}{40}\times 16\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{657}{5}\\\frac{343}{5}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{657}{5},y=\frac{343}{5}$$

Бетерүне куллану адымнары

Икенче тигезләмәне гадиләштерү. Тигезләмәнең ике өлешен 200-га, 200,100'ның иң ким гомуми дәрәҗәсенә тапкырлагыз.

$$\frac{x}{9}+\frac{y}{49}=2\times 8$$

Аңлатмаларны өстәү яки алу өчен, аларның ваклаучыларын бертөрле итү өчен җәегез. 9 һәм 49-нең иң ким гомуми кабатлы саны — 441. \frac{x}{9}'ны \frac{49}{49} тапкыр тапкырлагыз. \frac{y}{49}'ны \frac{9}{9} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{49x}{441}+\frac{9y}{441}=2\times 8$$

\frac{49x}{441} һәм \frac{9y}{441} бер ук ваклаучы булгач, аларны, санаучыларын өстәп, өстәгез.

$$\frac{49x+9y}{441}=2\times 8$$

16 алу өчен, 2 һәм 8 тапкырлагыз.

$$\frac{49x+9y}{441}=16$$

\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y алу өчен, 49x+9y'ның һәр шартын 441'га бүлегез.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$x+y=200,\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

x һәм \frac{x}{9} тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны \frac{1}{9}'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га тапкырлагыз.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{9}y=\frac{1}{9}\times 200,\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

Гадиләштерегез.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{9}y=\frac{200}{9},\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, \frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16'ны \frac{1}{9}x+\frac{1}{9}y=\frac{200}{9}'нан алыгыз.

$$\frac{1}{9}x-\frac{1}{9}x+\frac{1}{9}y-\frac{1}{49}y=\frac{200}{9}-16$$

\frac{x}{9}'ны -\frac{x}{9}'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, \frac{x}{9} һәм -\frac{x}{9} шартлар кыскартылган.

$$\frac{1}{9}y-\frac{1}{49}y=\frac{200}{9}-16$$

\frac{y}{9}'ны -\frac{y}{49}'га өстәгез.

$$\frac{40}{441}y=\frac{200}{9}-16$$

\frac{200}{9}'ны -16'га өстәгез.

$$\frac{40}{441}y=\frac{56}{9}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{40}{441} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{343}{5}$$

\frac{343}{5}'ны y өчен \frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}\times \frac{343}{5}=16$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{1}{49}'ны \frac{343}{5} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$\frac{1}{9}x+\frac{7}{5}=16$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{7}{5} алыгыз.

$$\frac{1}{9}x=\frac{73}{5}$$

Ике якны 9-га тапкырлагыз.

$$x=\frac{657}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{657}{5},y=\frac{343}{5}$$