{l}{x+my=a}{x-ny=b} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + m y = a } \\ { x - n y = b } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{bm+an}{m+n}\text{, }y=-\frac{b-a}{m+n}\text{, }&m\neq -n\\x=ny+b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=b\text{ and }m=-n\\x=b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=0\text{ and }n=0\text{ and }a=b\end{matrix}\right.$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$x+my=a$$

Тигезләмәнең ике ягыннан my алыгыз.

$$x=\left(-m\right)y+a$$

Башка тигезләмәдә x урынына a-my куегыз, x+\left(-n\right)y=b.

$$\left(-m\right)y+a+\left(-n\right)y=b$$

-my'ны -ny'га өстәгез.

$$\left(-m-n\right)y+a=b$$

Тигезләмәнең ике ягыннан a алыгыз.

$$\left(-m-n\right)y=b-a$$

Ике якны -m-n-га бүлегез.

$$y=-\frac{b-a}{m+n}$$

-\frac{b-a}{m+n}'ны y өчен x=\left(-m\right)y+a'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\left(-m\right)\left(-\frac{b-a}{m+n}\right)+a$$

-m'ны -\frac{b-a}{m+n} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{m\left(b-a\right)}{m+n}+a$$

a'ны \frac{m\left(b-a\right)}{m+n}'га өстәгез.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=-\frac{b-a}{m+n}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{n}{-n-m}&-\frac{m}{-n-m}\\-\frac{1}{-n-m}&\frac{1}{-n-m}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}&\frac{m}{m+n}\\\frac{1}{m+n}&\frac{1}{-m-n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}a+\frac{m}{m+n}b\\\frac{1}{m+n}a+\frac{1}{-m-n}b\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{bm+an}{m+n}\\\frac{a-b}{m+n}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, x+\left(-n\right)y=b'ны x+my=a'нан алыгыз.

$$x-x+my+ny=a-b$$

x'ны -x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, x һәм -x шартлар кыскартылган.

$$my+ny=a-b$$

my'ны ny'га өстәгез.

$$\left(m+n\right)y=a-b$$

Ике якны m+n-га бүлегез.

$$y=\frac{a-b}{m+n}$$

\frac{a-b}{m+n}'ны y өчен x+\left(-n\right)y=b'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x+\left(-n\right)\times \frac{a-b}{m+n}=b$$

-n'ны \frac{a-b}{m+n} тапкыр тапкырлагыз.

$$x-\frac{n\left(a-b\right)}{m+n}=b$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{n\left(a-b\right)}{m+n} өстәгез.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$