{l}{x+5y=5}{3x-2y=3} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 5 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{25}{17} = 1\frac{8}{17} \approx 1.470588235$$

$$y=\frac{12}{17}\approx 0.705882353$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$x+5y=5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 5y алыгыз.

$$x=-5y+5$$

Башка тигезләмәдә x урынына -5y+5 куегыз, 3x-2y=3.

$$3\left(-5y+5\right)-2y=3$$

3'ны -5y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$-15y+15-2y=3$$

-15y'ны -2y'га өстәгез.

$$-17y+15=3$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 15 алыгыз.

$$-17y=-12$$

Ике якны -17-га бүлегез.

$$y=\frac{12}{17}$$

\frac{12}{17}'ны y өчен x=-5y+5'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-5\times \frac{12}{17}+5$$

-5'ны \frac{12}{17} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{60}{17}+5$$

5'ны -\frac{60}{17}'га өстәгез.

$$x=\frac{25}{17}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-5\times 3}&-\frac{5}{-2-5\times 3}\\-\frac{3}{-2-5\times 3}&\frac{1}{-2-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{5}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 5+\frac{5}{17}\times 3\\\frac{3}{17}\times 5-\frac{1}{17}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{17}\\\frac{12}{17}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га тапкырлагыз.

$$3x+3\times 5y=3\times 5,3x-2y=3$$

Гадиләштерегез.

$$3x+15y=15,3x-2y=3$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 3x-2y=3'ны 3x+15y=15'нан алыгыз.

$$3x-3x+15y+2y=15-3$$

3x'ны -3x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 3x һәм -3x шартлар кыскартылган.

$$15y+2y=15-3$$

15y'ны 2y'га өстәгез.

$$17y=15-3$$

15'ны -3'га өстәгез.

$$17y=12$$

Ике якны 17-га бүлегез.

$$y=\frac{12}{17}$$

\frac{12}{17}'ны y өчен 3x-2y=3'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x-2\times \frac{12}{17}=3$$

-2'ны \frac{12}{17} тапкыр тапкырлагыз.

$$3x-\frac{24}{17}=3$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{24}{17} өстәгез.

$$3x=\frac{75}{17}$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{25}{17}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$