{l}{x+4y=7}{2x-7y=-31} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = 7 } \\ { 2 x - 7 y = - 31 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-5$$

$$y=3$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$x+4y=7,2x-7y=-31$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$x+4y=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 4y алыгыз.

$$x=-4y+7$$

Башка тигезләмәдә x урынына -4y+7 куегыз, 2x-7y=-31.

$$2\left(-4y+7\right)-7y=-31$$

2'ны -4y+7 тапкыр тапкырлагыз.

$$-8y+14-7y=-31$$

-8y'ны -7y'га өстәгез.

$$-15y+14=-31$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 14 алыгыз.

$$-15y=-45$$

Ике якны -15-га бүлегез.

$$y=3$$

3'ны y өчен x=-4y+7'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-4\times 3+7$$

-4'ны 3 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-12+7$$

7'ны -12'га өстәгез.

$$x=-5$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-5,y=3$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$x+4y=7,2x-7y=-31$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-4\times 2}&-\frac{4}{-7-4\times 2}\\-\frac{2}{-7-4\times 2}&\frac{1}{-7-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{15}\times 7+\frac{4}{15}\left(-31\right)\\\frac{2}{15}\times 7-\frac{1}{15}\left(-31\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-5,y=3$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$x+4y=7,2x-7y=-31$$

x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га тапкырлагыз.

$$2x+2\times 4y=2\times 7,2x-7y=-31$$

Гадиләштерегез.

$$2x+8y=14,2x-7y=-31$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 2x-7y=-31'ны 2x+8y=14'нан алыгыз.

$$2x-2x+8y+7y=14+31$$

2x'ны -2x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 2x һәм -2x шартлар кыскартылган.

$$8y+7y=14+31$$

8y'ны 7y'га өстәгез.

$$15y=14+31$$

14'ны 31'га өстәгез.

$$15y=45$$

Ике якны 15-га бүлегез.

$$y=3$$

3'ны y өчен 2x-7y=-31'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x-7\times 3=-31$$

-7'ны 3 тапкыр тапкырлагыз.

$$2x-21=-31$$

Тигезләмәнең ике ягына 21 өстәгез.

$$2x=-10$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=-5$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-5,y=3$$