{l}{ty+2=x}{x^2+4y^2=4} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { t y + 2 = x } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=2\text{, }y=0$$

$$x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}$$

Алыштыруны һәм квадрат формуласын куллану адымнары

Беренче тигезләмәне гадиләштерү. x'ны ике яктан алыгыз.

$$ty+2-x=0$$

2'ны ике яктан алыгыз. Нульдән теләсә кайсы әйбер алынса, аның тискәре саны булып чыга.

$$ty-x=-2$$

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$ty-x=-2,x^{2}+4y^{2}=4$$

y'ны тигезләү тамгасының сул ягында калдырып, y өчен ty-x=-2 чишегез.

$$ty-x=-2$$

Тигезләмәнең ике ягыннан -x алыгыз.

$$ty=x-2$$

Ике якны t-га бүлегез.

$$y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}$$

Башка тигезләмәдә y урынына \frac{1}{t}x-\frac{2}{t} куегыз, x^{2}+4y^{2}=4.

$$x^{2}+4\left(\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} квадратын табыгыз.

$$x^{2}+4\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}\right)=4$$

4'ны \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$x^{2}+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

x^{2}'ны 4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}'га өстәгез.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 4 алыгыз.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}-4=0$$

Әлеге тигезләмә стандарт формасында: ax^{2}+bx+c=0. Квадрат формуласында 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}'ны a'га, 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right)'ны b'га һәм \frac{16}{t^{2}}-4'ны c'га алыштырыгыз, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\left(8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}\right)^{2}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) квадратын табыгыз.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

-4'ны 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+\left(-4-\frac{16}{t^{2}}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

-4-\frac{16}{t^{2}}'ны \frac{16}{t^{2}}-4 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+16-\frac{256}{t^{4}}}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

\frac{256}{t^{4}}'ны -\frac{256}{t^{4}}+16'га өстәгез.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{16}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

16'нан квадрат тамырын чыгартыгыз.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±4}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

2'ны 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

Хәзер ± плюс булганда, x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} тигезләмәсен чишегез. \frac{16}{t^{2}}'ны 4'га өстәгез.

$$x=\frac{4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

4+\frac{16}{t^{2}}'ны 2+\frac{8}{t^{2}}'га бүлегез.

$$x=2$$

Хәзер ± минус булганда, x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} тигезләмәсен чишегез. 4'ны \frac{16}{t^{2}}'нан алыгыз.

$$x=\frac{-4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

\frac{16}{t^{2}}-4'ны 2+\frac{8}{t^{2}}'га бүлегез.

$$x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

x өчен ике чишелеш бар: 2 һәм -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}. Ике тигезләмәне дә канәгатьләндерүче y өчен туры килүче чишелешне табу өчен, y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} тигезләмәсендә x урынына 2 куегыз.

$$y=\frac{1}{t}\times 2-\frac{2}{t}$$

\frac{1}{t}'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

Хәзер y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} тигезләмәсендә -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} урынына x куегыз һәм ике тигезләмәне дә канәгатьләндерүче y өчен туры килүче чишелешне табу өчен, чишегез.

$$y=\frac{1}{t}\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)-\frac{2}{t}$$

\frac{1}{t}'ны -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} тапкыр тапкырлагыз.

$$y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

Система хәзер чишелгән.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=2\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

x, y өчен чишелеш (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2\text{, }y=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}\text{, }&t\neq -2i\text{ and }t\neq 2i\end{matrix}\right.$$