{l}{9x-4y=8}{6x-2y=3} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x - 4 y = 8 } \\ { 6 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$9x-4y=8$$

Тигезләмәнең ике ягына 4y өстәгез.

$$9x=4y+8$$

Ике якны 9-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+8\right)$$

\frac{1}{9}'ны 8+4y тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{8+4y}{9} куегыз, 6x-2y=3.

$$6\left(\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}\right)-2y=3$$

6'ны \frac{8+4y}{9} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}-2y=3$$

\frac{8y}{3}'ны -2y'га өстәгез.

$$\frac{2}{3}y+\frac{16}{3}=3$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{16}{3} алыгыз.

$$\frac{2}{3}y=-\frac{7}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{2}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{7}{2}$$

-\frac{7}{2}'ны y өчен x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{4}{9}\left(-\frac{7}{2}\right)+\frac{8}{9}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{4}{9}'ны -\frac{7}{2} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{-14+8}{9}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{8}{9}'ны -\frac{14}{9}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{9}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 8+\frac{2}{3}\times 3\\-8+\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

9x һәм 6x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 6'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 9'га тапкырлагыз.

$$6\times 9x+6\left(-4\right)y=6\times 8,9\times 6x+9\left(-2\right)y=9\times 3$$

Гадиләштерегез.

$$54x-24y=48,54x-18y=27$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 54x-18y=27'ны 54x-24y=48'нан алыгыз.

$$54x-54x-24y+18y=48-27$$

54x'ны -54x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 54x һәм -54x шартлар кыскартылган.

$$-24y+18y=48-27$$

-24y'ны 18y'га өстәгез.

$$-6y=48-27$$

48'ны -27'га өстәгез.

$$-6y=21$$

Ике якны -6-га бүлегез.

$$y=-\frac{7}{2}$$

-\frac{7}{2}'ны y өчен 6x-2y=3'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$6x-2\left(-\frac{7}{2}\right)=3$$

-2'ны -\frac{7}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$6x+7=3$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 7 алыгыз.

$$6x=-4$$

Ике якны 6-га бүлегез.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$