{l}{7x-8y=9}{4x-13y=-10} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x - 13 y = - 10 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{197}{59} = 3\frac{20}{59} \approx 3.338983051$$

$$y = \frac{106}{59} = 1\frac{47}{59} \approx 1.796610169$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$7x-8y=9$$

Тигезләмәнең ике ягына 8y өстәгез.

$$7x=8y+9$$

Ике якны 7-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{7}\left(8y+9\right)$$

\frac{1}{7}'ны 8y+9 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{8y+9}{7} куегыз, 4x-13y=-10.

$$4\left(\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}\right)-13y=-10$$

4'ны \frac{8y+9}{7} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{32}{7}y+\frac{36}{7}-13y=-10$$

\frac{32y}{7}'ны -13y'га өстәгез.

$$-\frac{59}{7}y+\frac{36}{7}=-10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{36}{7} алыгыз.

$$-\frac{59}{7}y=-\frac{106}{7}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{59}{7} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{106}{59}$$

\frac{106}{59}'ны y өчен x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{8}{7}\times \frac{106}{59}+\frac{9}{7}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{8}{7}'ны \frac{106}{59} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{848}{413}+\frac{9}{7}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{9}{7}'ны \frac{848}{413}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{197}{59}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&\frac{7}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}&-\frac{8}{59}\\\frac{4}{59}&-\frac{7}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}\times 9-\frac{8}{59}\left(-10\right)\\\frac{4}{59}\times 9-\frac{7}{59}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{197}{59}\\\frac{106}{59}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

7x һәм 4x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 7'га тапкырлагыз.

$$4\times 7x+4\left(-8\right)y=4\times 9,7\times 4x+7\left(-13\right)y=7\left(-10\right)$$

Гадиләштерегез.

$$28x-32y=36,28x-91y=-70$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 28x-91y=-70'ны 28x-32y=36'нан алыгыз.

$$28x-28x-32y+91y=36+70$$

28x'ны -28x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 28x һәм -28x шартлар кыскартылган.

$$-32y+91y=36+70$$

-32y'ны 91y'га өстәгез.

$$59y=36+70$$

36'ны 70'га өстәгез.

$$59y=106$$

Ике якны 59-га бүлегез.

$$y=\frac{106}{59}$$

\frac{106}{59}'ны y өчен 4x-13y=-10'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$4x-13\times \frac{106}{59}=-10$$

-13'ны \frac{106}{59} тапкыр тапкырлагыз.

$$4x-\frac{1378}{59}=-10$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{1378}{59} өстәгез.

$$4x=\frac{788}{59}$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{197}{59}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$