{l}{7x+3y=43}{4x-3y=67} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 43 } \\ { 4 x - 3 y = 67 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=10$$

$$y=-9$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$7x+3y=43$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$7x=-3y+43$$

Ике якны 7-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+43\right)$$

\frac{1}{7}'ны -3y+43 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-3y+43}{7} куегыз, 4x-3y=67.

$$4\left(-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}\right)-3y=67$$

4'ны \frac{-3y+43}{7} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{12}{7}y+\frac{172}{7}-3y=67$$

-\frac{12y}{7}'ны -3y'га өстәгез.

$$-\frac{33}{7}y+\frac{172}{7}=67$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{172}{7} алыгыз.

$$-\frac{33}{7}y=\frac{297}{7}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{33}{7} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-9$$

-9'ны y өчен x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{7}\left(-9\right)+\frac{43}{7}$$

-\frac{3}{7}'ны -9 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{27+43}{7}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{43}{7}'ны \frac{27}{7}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=10$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=10,y=-9$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}&-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-3\right)-3\times 4}&\frac{7}{7\left(-3\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{4}{33}&-\frac{7}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 43+\frac{1}{11}\times 67\\\frac{4}{33}\times 43-\frac{7}{33}\times 67\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=10,y=-9$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

7x һәм 4x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 7'га тапкырлагыз.

$$4\times 7x+4\times 3y=4\times 43,7\times 4x+7\left(-3\right)y=7\times 67$$

Гадиләштерегез.

$$28x+12y=172,28x-21y=469$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 28x-21y=469'ны 28x+12y=172'нан алыгыз.

$$28x-28x+12y+21y=172-469$$

28x'ны -28x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 28x һәм -28x шартлар кыскартылган.

$$12y+21y=172-469$$

12y'ны 21y'га өстәгез.

$$33y=172-469$$

172'ны -469'га өстәгез.

$$33y=-297$$

Ике якны 33-га бүлегез.

$$y=-9$$

-9'ны y өчен 4x-3y=67'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$4x-3\left(-9\right)=67$$

-3'ны -9 тапкыр тапкырлагыз.

$$4x+27=67$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 27 алыгыз.

$$4x=40$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=10$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=10,y=-9$$