{l}{6u+4v=5}{9u-8v=4} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 u + 4 v = 5 } \\ { 9 u - 8 v = 4 } \end{array} \right.$$

u, v өчен чишелеш

$$u=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$v=\frac{1}{4}=0.25$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, u'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, u өчен чишегез.

$$6u+4v=5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 4v алыгыз.

$$6u=-4v+5$$

Ике якны 6-га бүлегез.

$$u=\frac{1}{6}\left(-4v+5\right)$$

\frac{1}{6}'ны -4v+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}$$

Башка тигезләмәдә u урынына -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} куегыз, 9u-8v=4.

$$9\left(-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}\right)-8v=4$$

9'ны -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} тапкыр тапкырлагыз.

$$-6v+\frac{15}{2}-8v=4$$

-6v'ны -8v'га өстәгез.

$$-14v+\frac{15}{2}=4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{15}{2} алыгыз.

$$-14v=-\frac{7}{2}$$

Ике якны -14-га бүлегез.

$$v=\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4}'ны v өчен u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры u өчен чишә аласыз.

$$u=-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{5}{6}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{2}{3}'ны \frac{1}{4} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$u=\frac{-1+5}{6}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{6}'ны -\frac{1}{6}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$u=\frac{2}{3}$$

Система хәзер чишелгән.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-4\times 9}&-\frac{4}{6\left(-8\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{6\left(-8\right)-4\times 9}&\frac{6}{6\left(-8\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{28}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 5+\frac{1}{21}\times 4\\\frac{3}{28}\times 5-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

u һәм v матрица элементларын чыгартыгыз.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

6u һәм 9u тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 9'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 6'га тапкырлагыз.

$$9\times 6u+9\times 4v=9\times 5,6\times 9u+6\left(-8\right)v=6\times 4$$

Гадиләштерегез.

$$54u+36v=45,54u-48v=24$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 54u-48v=24'ны 54u+36v=45'нан алыгыз.

$$54u-54u+36v+48v=45-24$$

54u'ны -54u'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 54u һәм -54u шартлар кыскартылган.

$$36v+48v=45-24$$

36v'ны 48v'га өстәгез.

$$84v=45-24$$

45'ны -24'га өстәгез.

$$84v=21$$

Ике якны 84-га бүлегез.

$$v=\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4}'ны v өчен 9u-8v=4'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры u өчен чишә аласыз.

$$9u-8\times \frac{1}{4}=4$$

-8'ны \frac{1}{4} тапкыр тапкырлагыз.

$$9u-2=4$$

Тигезләмәнең ике ягына 2 өстәгез.

$$9u=6$$

Ике якны 9-га бүлегез.

$$u=\frac{2}{3}$$

Система хәзер чишелгән.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$