{l}{5y-4z=-1}{-7y+7z=9} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 y - 4 z = - 1 } \\ { - 7 y + 7 z = 9 } \end{array} \right.$$

y, z өчен чишелеш

$$y = \frac{29}{7} = 4\frac{1}{7} \approx 4.142857143$$

$$z = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7} \approx 5.428571429$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, y'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, y өчен чишегез.

$$5y-4z=-1$$

Тигезләмәнең ике ягына 4z өстәгез.

$$5y=4z-1$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$y=\frac{1}{5}\left(4z-1\right)$$

\frac{1}{5}'ны 4z-1 тапкыр тапкырлагыз.

$$y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}$$

Башка тигезләмәдә y урынына \frac{4z-1}{5} куегыз, -7y+7z=9.

$$-7\left(\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}\right)+7z=9$$

-7'ны \frac{4z-1}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{28}{5}z+\frac{7}{5}+7z=9$$

-\frac{28z}{5}'ны 7z'га өстәгез.

$$\frac{7}{5}z+\frac{7}{5}=9$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{7}{5} алыгыз.

$$\frac{7}{5}z=\frac{38}{5}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{7}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$z=\frac{38}{7}$$

\frac{38}{7}'ны z өчен y=\frac{4}{5}z-\frac{1}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры y өчен чишә аласыз.

$$y=\frac{4}{5}\times \frac{38}{7}-\frac{1}{5}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{4}{5}'ны \frac{38}{7} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$y=\frac{152}{35}-\frac{1}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, -\frac{1}{5}'ны \frac{152}{35}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$y=\frac{29}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-4\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{7}\\1&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+\frac{4}{7}\times 9\\-1+\frac{5}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{7}\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

y һәм z матрица элементларын чыгартыгыз.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5y-4z=-1,-7y+7z=9$$

5y һәм -7y тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -7'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$-7\times 5y-7\left(-4\right)z=-7\left(-1\right),5\left(-7\right)y+5\times 7z=5\times 9$$

Гадиләштерегез.

$$-35y+28z=7,-35y+35z=45$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -35y+35z=45'ны -35y+28z=7'нан алыгыз.

$$-35y+35y+28z-35z=7-45$$

-35y'ны 35y'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -35y һәм 35y шартлар кыскартылган.

$$28z-35z=7-45$$

28z'ны -35z'га өстәгез.

$$-7z=7-45$$

7'ны -45'га өстәгез.

$$-7z=-38$$

Ике якны -7-га бүлегез.

$$z=\frac{38}{7}$$

\frac{38}{7}'ны z өчен -7y+7z=9'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры y өчен чишә аласыз.

$$-7y+7\times \frac{38}{7}=9$$

7'ны \frac{38}{7} тапкыр тапкырлагыз.

$$-7y+38=9$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 38 алыгыз.

$$-7y=-29$$

Ике якны -7-га бүлегез.

$$y=\frac{29}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$y=\frac{29}{7},z=\frac{38}{7}$$