{l}{5x-y=9}{2x+4y=8} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 9 } \\ { 2 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=2$$

$$y=1$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x-y=9,2x+4y=8$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x-y=9$$

Тигезләмәнең ике ягына y өстәгез.

$$5x=y+9$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+9\right)$$

\frac{1}{5}'ны y+9 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{9+y}{5} куегыз, 2x+4y=8.

$$2\left(\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}\right)+4y=8$$

2'ны \frac{9+y}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{2}{5}y+\frac{18}{5}+4y=8$$

\frac{2y}{5}'ны 4y'га өстәгез.

$$\frac{22}{5}y+\frac{18}{5}=8$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{18}{5} алыгыз.

$$\frac{22}{5}y=\frac{22}{5}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{22}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=1$$

1'ны y өчен x=\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{1+9}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{9}{5}'ны \frac{1}{5}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=1$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x-y=9,2x+4y=8$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{5\times 4-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{5\times 4-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 9+\frac{1}{22}\times 8\\-\frac{1}{11}\times 9+\frac{5}{22}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=2,y=1$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x-y=9,2x+4y=8$$

5x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 9,5\times 2x+5\times 4y=5\times 8$$

Гадиләштерегез.

$$10x-2y=18,10x+20y=40$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 10x+20y=40'ны 10x-2y=18'нан алыгыз.

$$10x-10x-2y-20y=18-40$$

10x'ны -10x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 10x һәм -10x шартлар кыскартылган.

$$-2y-20y=18-40$$

-2y'ны -20y'га өстәгез.

$$-22y=18-40$$

18'ны -40'га өстәгез.

$$-22y=-22$$

Ике якны -22-га бүлегез.

$$y=1$$

1'ны y өчен 2x+4y=8'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x+4=8$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 4 алыгыз.

$$2x=4$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=2$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=2,y=1$$