{l}{5x-4y=11}{3x+2y=7} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 11 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{25}{11} = 2\frac{3}{11} \approx 2.272727273$$

$$y=\frac{1}{11}\approx 0.090909091$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x-4y=11$$

Тигезләмәнең ике ягына 4y өстәгез.

$$5x=4y+11$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+11\right)$$

\frac{1}{5}'ны 4y+11 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{4y+11}{5} куегыз, 3x+2y=7.

$$3\left(\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}\right)+2y=7$$

3'ны \frac{4y+11}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{12}{5}y+\frac{33}{5}+2y=7$$

\frac{12y}{5}'ны 2y'га өстәгез.

$$\frac{22}{5}y+\frac{33}{5}=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{33}{5} алыгыз.

$$\frac{22}{5}y=\frac{2}{5}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{22}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{1}{11}$$

\frac{1}{11}'ны y өчен x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{1}{11}+\frac{11}{5}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{4}{5}'ны \frac{1}{11} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{4}{55}+\frac{11}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{11}{5}'ны \frac{4}{55}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{25}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 11+\frac{2}{11}\times 7\\-\frac{3}{22}\times 11+\frac{5}{22}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{11}\\\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

5x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 11,5\times 3x+5\times 2y=5\times 7$$

Гадиләштерегез.

$$15x-12y=33,15x+10y=35$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 15x+10y=35'ны 15x-12y=33'нан алыгыз.

$$15x-15x-12y-10y=33-35$$

15x'ны -15x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 15x һәм -15x шартлар кыскартылган.

$$-12y-10y=33-35$$

-12y'ны -10y'га өстәгез.

$$-22y=33-35$$

33'ны -35'га өстәгез.

$$-22y=-2$$

Ике якны -22-га бүлегез.

$$y=\frac{1}{11}$$

\frac{1}{11}'ны y өчен 3x+2y=7'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x+2\times \frac{1}{11}=7$$

2'ны \frac{1}{11} тапкыр тапкырлагыз.

$$3x+\frac{2}{11}=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{2}{11} алыгыз.

$$3x=\frac{75}{11}$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{25}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$