{l}{5x-2y=14}{3x+7y=21} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 14 } \\ { 3 x + 7 y = 21 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{140}{41} = 3\frac{17}{41} \approx 3.414634146$$

$$y = \frac{63}{41} = 1\frac{22}{41} \approx 1.536585366$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x-2y=14$$

Тигезләмәнең ике ягына 2y өстәгез.

$$5x=2y+14$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+14\right)$$

\frac{1}{5}'ны 14+2y тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{14+2y}{5} куегыз, 3x+7y=21.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}\right)+7y=21$$

3'ны \frac{14+2y}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{6}{5}y+\frac{42}{5}+7y=21$$

\frac{6y}{5}'ны 7y'га өстәгез.

$$\frac{41}{5}y+\frac{42}{5}=21$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{42}{5} алыгыз.

$$\frac{41}{5}y=\frac{63}{5}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{41}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{63}{41}$$

\frac{63}{41}'ны y өчен x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{63}{41}+\frac{14}{5}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{2}{5}'ны \frac{63}{41} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{126}{205}+\frac{14}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{14}{5}'ны \frac{126}{205}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{140}{41}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}&\frac{2}{41}\\-\frac{3}{41}&\frac{5}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}\times 14+\frac{2}{41}\times 21\\-\frac{3}{41}\times 14+\frac{5}{41}\times 21\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{140}{41}\\\frac{63}{41}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

5x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\times 14,5\times 3x+5\times 7y=5\times 21$$

Гадиләштерегез.

$$15x-6y=42,15x+35y=105$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 15x+35y=105'ны 15x-6y=42'нан алыгыз.

$$15x-15x-6y-35y=42-105$$

15x'ны -15x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 15x һәм -15x шартлар кыскартылган.

$$-6y-35y=42-105$$

-6y'ны -35y'га өстәгез.

$$-41y=42-105$$

42'ны -105'га өстәгез.

$$-41y=-63$$

Ике якны -41-га бүлегез.

$$y=\frac{63}{41}$$

\frac{63}{41}'ны y өчен 3x+7y=21'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x+7\times \frac{63}{41}=21$$

7'ны \frac{63}{41} тапкыр тапкырлагыз.

$$3x+\frac{441}{41}=21$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{441}{41} алыгыз.

$$3x=\frac{420}{41}$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{140}{41}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$