{l}{5x+9y=40}{3x+7y=3} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 9 y = 40 } \\ { 3 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{253}{8} = 31\frac{5}{8} = 31.625$$

$$y = -\frac{105}{8} = -13\frac{1}{8} = -13.125$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x+9y=40,3x+7y=3$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x+9y=40$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 9y алыгыз.

$$5x=-9y+40$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(-9y+40\right)$$

\frac{1}{5}'ны -9y+40 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{9}{5}y+8$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{9y}{5}+8 куегыз, 3x+7y=3.

$$3\left(-\frac{9}{5}y+8\right)+7y=3$$

3'ны -\frac{9y}{5}+8 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{27}{5}y+24+7y=3$$

-\frac{27y}{5}'ны 7y'га өстәгез.

$$\frac{8}{5}y+24=3$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 24 алыгыз.

$$\frac{8}{5}y=-21$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{8}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{105}{8}$$

-\frac{105}{8}'ны y өчен x=-\frac{9}{5}y+8'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{9}{5}\left(-\frac{105}{8}\right)+8$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{9}{5}'ны -\frac{105}{8} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{189}{8}+8$$

8'ны \frac{189}{8}'га өстәгез.

$$x=\frac{253}{8}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{253}{8},y=-\frac{105}{8}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x+9y=40,3x+7y=3$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-9\times 3}&-\frac{9}{5\times 7-9\times 3}\\-\frac{3}{5\times 7-9\times 3}&\frac{5}{5\times 7-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}&-\frac{9}{8}\\-\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}\times 40-\frac{9}{8}\times 3\\-\frac{3}{8}\times 40+\frac{5}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{253}{8}\\-\frac{105}{8}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{253}{8},y=-\frac{105}{8}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x+9y=40,3x+7y=3$$

5x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$3\times 5x+3\times 9y=3\times 40,5\times 3x+5\times 7y=5\times 3$$

Гадиләштерегез.

$$15x+27y=120,15x+35y=15$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 15x+35y=15'ны 15x+27y=120'нан алыгыз.

$$15x-15x+27y-35y=120-15$$

15x'ны -15x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 15x һәм -15x шартлар кыскартылган.

$$27y-35y=120-15$$

27y'ны -35y'га өстәгез.

$$-8y=120-15$$

120'ны -15'га өстәгез.

$$-8y=105$$

Ике якны -8-га бүлегез.

$$y=-\frac{105}{8}$$

-\frac{105}{8}'ны y өчен 3x+7y=3'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x+7\left(-\frac{105}{8}\right)=3$$

7'ны -\frac{105}{8} тапкыр тапкырлагыз.

$$3x-\frac{735}{8}=3$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{735}{8} өстәгез.

$$3x=\frac{759}{8}$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{253}{8}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{253}{8},y=-\frac{105}{8}$$