{l}{5x+6y=9}{7x-4y=-5} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = 9 } \\ { 7 x - 4 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{3}{31}\approx 0.096774194$$

$$y = \frac{44}{31} = 1\frac{13}{31} \approx 1.419354839$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x+6y=9,7x-4y=-5$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x+6y=9$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 6y алыгыз.

$$5x=-6y+9$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+9\right)$$

\frac{1}{5}'ны -6y+9 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{9}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-6y+9}{5} куегыз, 7x-4y=-5.

$$7\left(-\frac{6}{5}y+\frac{9}{5}\right)-4y=-5$$

7'ны \frac{-6y+9}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{42}{5}y+\frac{63}{5}-4y=-5$$

-\frac{42y}{5}'ны -4y'га өстәгез.

$$-\frac{62}{5}y+\frac{63}{5}=-5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{63}{5} алыгыз.

$$-\frac{62}{5}y=-\frac{88}{5}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{62}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{44}{31}$$

\frac{44}{31}'ны y өчен x=-\frac{6}{5}y+\frac{9}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{6}{5}\times \frac{44}{31}+\frac{9}{5}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{6}{5}'ны \frac{44}{31} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{264}{155}+\frac{9}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{9}{5}'ны -\frac{264}{155}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{3}{31}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{3}{31},y=\frac{44}{31}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x+6y=9,7x-4y=-5$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&6\\7&-4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-5\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-5\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-6\times 7}&-\frac{6}{5\left(-4\right)-6\times 7}\\-\frac{7}{5\left(-4\right)-6\times 7}&\frac{5}{5\left(-4\right)-6\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-5\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{31}&\frac{3}{31}\\\frac{7}{62}&-\frac{5}{62}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{31}\times 9+\frac{3}{31}\left(-5\right)\\\frac{7}{62}\times 9-\frac{5}{62}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{31}\\\frac{44}{31}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{3}{31},y=\frac{44}{31}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x+6y=9,7x-4y=-5$$

5x һәм 7x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 7'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$7\times 5x+7\times 6y=7\times 9,5\times 7x+5\left(-4\right)y=5\left(-5\right)$$

Гадиләштерегез.

$$35x+42y=63,35x-20y=-25$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 35x-20y=-25'ны 35x+42y=63'нан алыгыз.

$$35x-35x+42y+20y=63+25$$

35x'ны -35x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 35x һәм -35x шартлар кыскартылган.

$$42y+20y=63+25$$

42y'ны 20y'га өстәгез.

$$62y=63+25$$

63'ны 25'га өстәгез.

$$62y=88$$

Ике якны 62-га бүлегез.

$$y=\frac{44}{31}$$

\frac{44}{31}'ны y өчен 7x-4y=-5'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$7x-4\times \frac{44}{31}=-5$$

-4'ны \frac{44}{31} тапкыр тапкырлагыз.

$$7x-\frac{176}{31}=-5$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{176}{31} өстәгез.

$$7x=\frac{21}{31}$$

Ике якны 7-га бүлегез.

$$x=\frac{3}{31}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{3}{31},y=\frac{44}{31}$$