{l}{5x+5y=15}{4x+10y=-2} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 15 } \\ { 4 x + 10 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

$$y = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x+5y=15$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 5y алыгыз.

$$5x=-5y+15$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+15\right)$$

\frac{1}{5}'ны -5y+15 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-y+3$$

Башка тигезләмәдә x урынына -y+3 куегыз, 4x+10y=-2.

$$4\left(-y+3\right)+10y=-2$$

4'ны -y+3 тапкыр тапкырлагыз.

$$-4y+12+10y=-2$$

-4y'ны 10y'га өстәгез.

$$6y+12=-2$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 12 алыгыз.

$$6y=-14$$

Ике якны 6-га бүлегез.

$$y=-\frac{7}{3}$$

-\frac{7}{3}'ны y өчен x=-y+3'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\left(-\frac{7}{3}\right)+3$$

-1'ны -\frac{7}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{7}{3}+3$$

3'ны \frac{7}{3}'га өстәгез.

$$x=\frac{16}{3}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{5\times 10-5\times 4}&-\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\\-\frac{4}{5\times 10-5\times 4}&\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15-\frac{1}{6}\left(-2\right)\\-\frac{2}{15}\times 15+\frac{1}{6}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{3}\\-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

5x һәм 4x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$4\times 5x+4\times 5y=4\times 15,5\times 4x+5\times 10y=5\left(-2\right)$$

Гадиләштерегез.

$$20x+20y=60,20x+50y=-10$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 20x+50y=-10'ны 20x+20y=60'нан алыгыз.

$$20x-20x+20y-50y=60+10$$

20x'ны -20x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 20x һәм -20x шартлар кыскартылган.

$$20y-50y=60+10$$

20y'ны -50y'га өстәгез.

$$-30y=60+10$$

60'ны 10'га өстәгез.

$$-30y=70$$

Ике якны -30-га бүлегез.

$$y=-\frac{7}{3}$$

-\frac{7}{3}'ны y өчен 4x+10y=-2'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$4x+10\left(-\frac{7}{3}\right)=-2$$

10'ны -\frac{7}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$4x-\frac{70}{3}=-2$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{70}{3} өстәгез.

$$4x=\frac{64}{3}$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{16}{3}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$