{l}{5x+4y=-3}{6x+3y=-2} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = - 3 } \\ { 6 x + 3 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{1}{9}\approx 0.111111111$$

$$y=-\frac{8}{9}\approx -0.888888889$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x+4y=-3$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 4y алыгыз.

$$5x=-4y-3$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y-3\right)$$

\frac{1}{5}'ны -4y-3 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-4y-3}{5} куегыз, 6x+3y=-2.

$$6\left(-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)+3y=-2$$

6'ны \frac{-4y-3}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{24}{5}y-\frac{18}{5}+3y=-2$$

-\frac{24y}{5}'ны 3y'га өстәгез.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{18}{5}=-2$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{18}{5} өстәгез.

$$-\frac{9}{5}y=\frac{8}{5}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{9}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{8}{9}$$

-\frac{8}{9}'ны y өчен x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{4}{5}\left(-\frac{8}{9}\right)-\frac{3}{5}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{4}{5}'ны -\frac{8}{9} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{32}{45}-\frac{3}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, -\frac{3}{5}'ны \frac{32}{45}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{1}{9}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{4}{9}\left(-2\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{5}{9}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\\-\frac{8}{9}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

5x һәм 6x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 6'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$6\times 5x+6\times 4y=6\left(-3\right),5\times 6x+5\times 3y=5\left(-2\right)$$

Гадиләштерегез.

$$30x+24y=-18,30x+15y=-10$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 30x+15y=-10'ны 30x+24y=-18'нан алыгыз.

$$30x-30x+24y-15y=-18+10$$

30x'ны -30x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 30x һәм -30x шартлар кыскартылган.

$$24y-15y=-18+10$$

24y'ны -15y'га өстәгез.

$$9y=-18+10$$

-18'ны 10'га өстәгез.

$$9y=-8$$

Ике якны 9-га бүлегез.

$$y=-\frac{8}{9}$$

-\frac{8}{9}'ны y өчен 6x+3y=-2'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$6x+3\left(-\frac{8}{9}\right)=-2$$

3'ны -\frac{8}{9} тапкыр тапкырлагыз.

$$6x-\frac{8}{3}=-2$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{8}{3} өстәгез.

$$6x=\frac{2}{3}$$

Ике якны 6-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{9}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$