{l}{5x+2y=-6}{2x+5y=8} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = - 6 } \\ { 2 x + 5 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = -\frac{46}{21} = -2\frac{4}{21} \approx -2.19047619$$

$$y = \frac{52}{21} = 2\frac{10}{21} \approx 2.476190476$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$5x+2y=-6,2x+5y=8$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$5x+2y=-6$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2y алыгыз.

$$5x=-2y-6$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y-6\right)$$

\frac{1}{5}'ны -2y-6 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-2y-6}{5} куегыз, 2x+5y=8.

$$2\left(-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}\right)+5y=8$$

2'ны \frac{-2y-6}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{4}{5}y-\frac{12}{5}+5y=8$$

-\frac{4y}{5}'ны 5y'га өстәгез.

$$\frac{21}{5}y-\frac{12}{5}=8$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{12}{5} өстәгез.

$$\frac{21}{5}y=\frac{52}{5}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{21}{5} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{52}{21}$$

\frac{52}{21}'ны y өчен x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{2}{5}\times \frac{52}{21}-\frac{6}{5}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{2}{5}'ны \frac{52}{21} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{104}{105}-\frac{6}{5}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, -\frac{6}{5}'ны -\frac{104}{105}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{46}{21}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{46}{21},y=\frac{52}{21}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$5x+2y=-6,2x+5y=8$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2\times 2}&-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}\\-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}&\frac{5}{5\times 5-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&-\frac{2}{21}\\-\frac{2}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\left(-6\right)-\frac{2}{21}\times 8\\-\frac{2}{21}\left(-6\right)+\frac{5}{21}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{46}{21}\\\frac{52}{21}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{46}{21},y=\frac{52}{21}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$5x+2y=-6,2x+5y=8$$

5x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га тапкырлагыз.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\left(-6\right),5\times 2x+5\times 5y=5\times 8$$

Гадиләштерегез.

$$10x+4y=-12,10x+25y=40$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 10x+25y=40'ны 10x+4y=-12'нан алыгыз.

$$10x-10x+4y-25y=-12-40$$

10x'ны -10x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 10x һәм -10x шартлар кыскартылган.

$$4y-25y=-12-40$$

4y'ны -25y'га өстәгез.

$$-21y=-12-40$$

-12'ны -40'га өстәгез.

$$-21y=-52$$

Ике якны -21-га бүлегез.

$$y=\frac{52}{21}$$

\frac{52}{21}'ны y өчен 2x+5y=8'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x+5\times \frac{52}{21}=8$$

5'ны \frac{52}{21} тапкыр тапкырлагыз.

$$2x+\frac{260}{21}=8$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{260}{21} алыгыз.

$$2x=-\frac{92}{21}$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=-\frac{46}{21}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{46}{21},y=\frac{52}{21}$$