{l}{48x+40y=1280}{120x+80y=2800} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 48 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=10$$

$$y=20$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$48x+40y=1280$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 40y алыгыз.

$$48x=-40y+1280$$

Ике якны 48-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{48}\left(-40y+1280\right)$$

\frac{1}{48}'ны -40y+1280 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{5y}{6}+\frac{80}{3} куегыз, 120x+80y=2800.

$$120\left(-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}\right)+80y=2800$$

120'ны -\frac{5y}{6}+\frac{80}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-100y+3200+80y=2800$$

-100y'ны 80y'га өстәгез.

$$-20y+3200=2800$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3200 алыгыз.

$$-20y=-400$$

Ике якны -20-га бүлегез.

$$y=20$$

20'ны y өчен x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{5}{6}\times 20+\frac{80}{3}$$

-\frac{5}{6}'ны 20 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-50+80}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{80}{3}'ны -\frac{50}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=10$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=10,y=20$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{48\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{48\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{48\times 80-40\times 120}&\frac{48}{48\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{1}{24}\times 2800\\\frac{1}{8}\times 1280-\frac{1}{20}\times 2800\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=10,y=20$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

48x һәм 120x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 120'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 48'га тапкырлагыз.

$$120\times 48x+120\times 40y=120\times 1280,48\times 120x+48\times 80y=48\times 2800$$

Гадиләштерегез.

$$5760x+4800y=153600,5760x+3840y=134400$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 5760x+3840y=134400'ны 5760x+4800y=153600'нан алыгыз.

$$5760x-5760x+4800y-3840y=153600-134400$$

5760x'ны -5760x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 5760x һәм -5760x шартлар кыскартылган.

$$4800y-3840y=153600-134400$$

4800y'ны -3840y'га өстәгез.

$$960y=153600-134400$$

153600'ны -134400'га өстәгез.

$$960y=19200$$

Ике якны 960-га бүлегез.

$$y=20$$

20'ны y өчен 120x+80y=2800'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$120x+80\times 20=2800$$

80'ны 20 тапкыр тапкырлагыз.

$$120x+1600=2800$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 1600 алыгыз.

$$120x=1200$$

Ике якны 120-га бүлегез.

$$x=10$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=10,y=20$$