{l}{4x-ay-4a=0}{ax-4y+6a=0} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - a y - 4 a = 0 } \\ { a x - 4 y + 6 a = 0 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш (complex solution)

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

$$a\neq -4\text{ and }a\neq 4$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0$$

Тигезләмәнең ике ягына 4a өстәгез.

$$4x+\left(-a\right)y=4a$$

Тигезләмәнең ике ягына ay өстәгез.

$$4x=ay+4a$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(ay+4a\right)$$

\frac{1}{4}'ны a\left(4+y\right) тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{a}{4}y+a$$

Башка тигезләмәдә x урынына a+\frac{ay}{4} куегыз, ax-4y+6a=0.

$$a\left(\frac{a}{4}y+a\right)-4y+6a=0$$

a'ны a+\frac{ay}{4} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{a^{2}}{4}y+a^{2}-4y+6a=0$$

\frac{a^{2}y}{4}'ны -4y'га өстәгез.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a^{2}+6a=0$$

a^{2}'ны 6a'га өстәгез.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a\left(a+6\right)=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан a\left(6+a\right) алыгыз.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y=-a\left(a+6\right)$$

Ике якны -4+\frac{a^{2}}{4}-га бүлегез.

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

-\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16}'ны y өчен x=\frac{a}{4}y+a'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{a}{4}\left(-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\right)+a$$

\frac{a}{4}'ны -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{\left(a+6\right)a^{2}}{a^{2}-16}+a$$

a'ны -\frac{\left(6+a\right)a^{2}}{a^{2}-16}'га өстәгез.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&-\frac{-a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\\-\frac{a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{a^{2}-16}&\frac{a}{a^{2}-16}\\-\frac{a}{a^{2}-16}&\frac{4}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{a}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\\\left(-\frac{a}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{4}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}\\-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

4x һәм ax тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны a'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$a\times 4x+a\left(-a\right)y+a\left(-4a\right)=0,4ax+4\left(-4\right)y+4\times 6a=0$$

Гадиләштерегез.

$$4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0,4ax-16y+24a=0$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 4ax-16y+24a=0'ны 4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0'нан алыгыз.

$$4ax+\left(-4a\right)x+\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

4ax'ны -4ax'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 4ax һәм -4ax шартлар кыскартылган.

$$\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

-a^{2}y'ны 16y'га өстәгез.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a^{2}-24a=0$$

-4a^{2}'ны -24a'га өстәгез.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a\left(a+6\right)=0$$

Тигезләмәнең ике ягына 4a\left(6+a\right) өстәгез.

$$\left(16-a^{2}\right)y=4a\left(a+6\right)$$

Ике якны -a^{2}+16-га бүлегез.

$$y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

\frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}}'ны y өчен ax-4y+6a=0'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$ax-4\times \frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

-4'ны \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} тапкыр тапкырлагыз.

$$ax-\frac{16a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

-\frac{16a\left(6+a\right)}{16-a^{2}}'ны 6a'га өстәгез.

$$ax-\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}=0$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{2\left(8+3a\right)a^{2}}{\left(-a+4\right)\left(a+4\right)} өстәгез.

$$ax=\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

Ике якны a-га бүлегез.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)},y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

$$|a|\neq 4$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0$$

Тигезләмәнең ике ягына 4a өстәгез.

$$4x+\left(-a\right)y=4a$$

Тигезләмәнең ике ягына ay өстәгез.

$$4x=ay+4a$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(ay+4a\right)$$

\frac{1}{4}'ны a\left(4+y\right) тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{a}{4}y+a$$

Башка тигезләмәдә x урынына a+\frac{ay}{4} куегыз, ax-4y+6a=0.

$$a\left(\frac{a}{4}y+a\right)-4y+6a=0$$

a'ны a+\frac{ay}{4} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{a^{2}}{4}y+a^{2}-4y+6a=0$$

\frac{a^{2}y}{4}'ны -4y'га өстәгез.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a^{2}+6a=0$$

a^{2}'ны 6a'га өстәгез.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a\left(a+6\right)=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан a\left(6+a\right) алыгыз.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y=-a\left(a+6\right)$$

Ике якны -4+\frac{a^{2}}{4}-га бүлегез.

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

-\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16}'ны y өчен x=\frac{a}{4}y+a'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{a}{4}\left(-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\right)+a$$

\frac{a}{4}'ны -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{\left(a+6\right)a^{2}}{a^{2}-16}+a$$

a'ны -\frac{\left(6+a\right)a^{2}}{a^{2}-16}'га өстәгез.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&-\frac{-a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\\-\frac{a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{a^{2}-16}&\frac{a}{a^{2}-16}\\-\frac{a}{a^{2}-16}&\frac{4}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{a}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\\\left(-\frac{a}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{4}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}\\-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

4x һәм ax тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны a'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$a\times 4x+a\left(-a\right)y+a\left(-4a\right)=0,4ax+4\left(-4\right)y+4\times 6a=0$$

Гадиләштерегез.

$$4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0,4ax-16y+24a=0$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 4ax-16y+24a=0'ны 4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0'нан алыгыз.

$$4ax+\left(-4a\right)x+\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

4ax'ны -4ax'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 4ax һәм -4ax шартлар кыскартылган.

$$\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

-a^{2}y'ны 16y'га өстәгез.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a^{2}-24a=0$$

-4a^{2}'ны -24a'га өстәгез.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a\left(a+6\right)=0$$

Тигезләмәнең ике ягына 4a\left(6+a\right) өстәгез.

$$\left(16-a^{2}\right)y=4a\left(a+6\right)$$

Ике якны -a^{2}+16-га бүлегез.

$$y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

\frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}}'ны y өчен ax-4y+6a=0'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$ax-4\times \frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

-4'ны \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} тапкыр тапкырлагыз.

$$ax-\frac{16a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

-\frac{16a\left(6+a\right)}{16-a^{2}}'ны 6a'га өстәгез.

$$ax-\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}=0$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{2\left(8+3a\right)a^{2}}{\left(-a+4\right)\left(a+4\right)} өстәгез.

$$ax=\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

Ике якны a-га бүлегез.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)},y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$