{l}{4x-5y=7}{2x+3y=1} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 7 } \\ { 2 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{13}{11} = 1\frac{2}{11} \approx 1.181818182$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x-5y=7$$

Тигезләмәнең ике ягына 5y өстәгез.

$$4x=5y+7$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+7\right)$$

\frac{1}{4}'ны 5y+7 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{5y+7}{4} куегыз, 2x+3y=1.

$$2\left(\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}\right)+3y=1$$

2'ны \frac{5y+7}{4} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}+3y=1$$

\frac{5y}{2}'ны 3y'га өстәгез.

$$\frac{11}{2}y+\frac{7}{2}=1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{7}{2} алыгыз.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{11}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{5}{11}$$

-\frac{5}{11}'ны y өчен x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{7}{4}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{5}{4}'ны -\frac{5}{11} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{25}{44}+\frac{7}{4}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{7}{4}'ны -\frac{25}{44}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{13}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 7+\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}\times 7+\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{11}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

4x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$2\times 4x+2\left(-5\right)y=2\times 7,4\times 2x+4\times 3y=4$$

Гадиләштерегез.

$$8x-10y=14,8x+12y=4$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 8x+12y=4'ны 8x-10y=14'нан алыгыз.

$$8x-8x-10y-12y=14-4$$

8x'ны -8x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 8x һәм -8x шартлар кыскартылган.

$$-10y-12y=14-4$$

-10y'ны -12y'га өстәгез.

$$-22y=14-4$$

14'ны -4'га өстәгез.

$$-22y=10$$

Ике якны -22-га бүлегез.

$$y=-\frac{5}{11}$$

-\frac{5}{11}'ны y өчен 2x+3y=1'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x+3\left(-\frac{5}{11}\right)=1$$

3'ны -\frac{5}{11} тапкыр тапкырлагыз.

$$2x-\frac{15}{11}=1$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{15}{11} өстәгез.

$$2x=\frac{26}{11}$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{13}{11}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$