{l}{4x+y=9}{2x+y=7} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 9 } \\ { 2 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=1$$

$$y=5$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x+y=9,2x+y=7$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x+y=9$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$4x=-y+9$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+9\right)$$

\frac{1}{4}'ны -y+9 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{9}{4}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-y+9}{4} куегыз, 2x+y=7.

$$2\left(-\frac{1}{4}y+\frac{9}{4}\right)+y=7$$

2'ны \frac{-y+9}{4} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}+y=7$$

-\frac{y}{2}'ны y'га өстәгез.

$$\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{9}{2} алыгыз.

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

Ике якны 2-га тапкырлагыз.

$$y=5$$

5'ны y өчен x=-\frac{1}{4}y+\frac{9}{4}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{4}\times 5+\frac{9}{4}$$

-\frac{1}{4}'ны 5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-5+9}{4}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{9}{4}'ны -\frac{5}{4}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=1,y=5$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x+y=9,2x+y=7$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{1}{4-2}\\-\frac{2}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 9-\frac{1}{2}\times 7\\-9+2\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=1,y=5$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x+y=9,2x+y=7$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 2x+y=7'ны 4x+y=9'нан алыгыз.

$$4x-2x+y-y=9-7$$

y'ны -y'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, y һәм -y шартлар кыскартылган.

$$4x-2x=9-7$$

4x'ны -2x'га өстәгез.

$$2x=9-7$$

9'ны -7'га өстәгез.

$$2x=2$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=1$$

1'ны x өчен 2x+y=7'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры y өчен чишә аласыз.

$$2+y=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2 алыгыз.

$$y=5$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=1,y=5$$