{l}{4x+y=5}{2x-y=-2} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 5 } \\ { 2 x - y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=3$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x+y=5,2x-y=-2$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x+y=5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$4x=-y+5$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+5\right)$$

\frac{1}{4}'ны -y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-y+5}{4} куегыз, 2x-y=-2.

$$2\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)-y=-2$$

2'ны \frac{-y+5}{4} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}-y=-2$$

-\frac{y}{2}'ны -y'га өстәгез.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}=-2$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{5}{2} алыгыз.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{3}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=3$$

3'ны y өчен x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

-\frac{1}{4}'ны 3 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-3+5}{4}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{4}'ны -\frac{3}{4}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{1}{2}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{1}{2},y=3$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x+y=5,2x-y=-2$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{4\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 5+\frac{1}{6}\left(-2\right)\\\frac{1}{3}\times 5-\frac{2}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\3\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{1}{2},y=3$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x+y=5,2x-y=-2$$

4x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$2\times 4x+2y=2\times 5,4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\left(-2\right)$$

Гадиләштерегез.

$$8x+2y=10,8x-4y=-8$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 8x-4y=-8'ны 8x+2y=10'нан алыгыз.

$$8x-8x+2y+4y=10+8$$

8x'ны -8x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 8x һәм -8x шартлар кыскартылган.

$$2y+4y=10+8$$

2y'ны 4y'га өстәгез.

$$6y=10+8$$

10'ны 8'га өстәгез.

$$6y=18$$

Ике якны 6-га бүлегез.

$$y=3$$

3'ны y өчен 2x-y=-2'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x-3=-2$$

Тигезләмәнең ике ягына 3 өстәгез.

$$2x=1$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{1}{2},y=3$$