{l}{4x+3y=71}{7x+5y=120} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 71 } \\ { 7 x + 5 y = 120 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=5$$

$$y=17$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x+3y=71$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$4x=-3y+71$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+71\right)$$

\frac{1}{4}'ны -3y+71 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-3y+71}{4} куегыз, 7x+5y=120.

$$7\left(-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}\right)+5y=120$$

7'ны \frac{-3y+71}{4} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{21}{4}y+\frac{497}{4}+5y=120$$

-\frac{21y}{4}'ны 5y'га өстәгез.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{497}{4}=120$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{497}{4} алыгыз.

$$-\frac{1}{4}y=-\frac{17}{4}$$

Ике якны -4-га тапкырлагыз.

$$y=17$$

17'ны y өчен x=-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{4}\times 17+\frac{71}{4}$$

-\frac{3}{4}'ны 17 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-51+71}{4}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{71}{4}'ны -\frac{51}{4}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=5$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=5,y=17$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 7}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 7}\\-\frac{7}{4\times 5-3\times 7}&\frac{4}{4\times 5-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 71+3\times 120\\7\times 71-4\times 120\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=5,y=17$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

4x һәм 7x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 7'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$7\times 4x+7\times 3y=7\times 71,4\times 7x+4\times 5y=4\times 120$$

Гадиләштерегез.

$$28x+21y=497,28x+20y=480$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 28x+20y=480'ны 28x+21y=497'нан алыгыз.

$$28x-28x+21y-20y=497-480$$

28x'ны -28x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 28x һәм -28x шартлар кыскартылган.

$$21y-20y=497-480$$

21y'ны -20y'га өстәгез.

$$y=497-480$$

497'ны -480'га өстәгез.

$$y=17$$

17'ны y өчен 7x+5y=120'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$7x+5\times 17=120$$

5'ны 17 тапкыр тапкырлагыз.

$$7x+85=120$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 85 алыгыз.

$$7x=35$$

Ике якны 7-га бүлегез.

$$x=5$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=5,y=17$$