{l}{4x+3y=6}{2x-y=8} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 6 } \\ { 2 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=3$$

$$y=-2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x+3y=6,2x-y=8$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x+3y=6$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$4x=-3y+6$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+6\right)$$

\frac{1}{4}'ны -3y+6 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{3y}{4}+\frac{3}{2} куегыз, 2x-y=8.

$$2\left(-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}\right)-y=8$$

2'ны -\frac{3y}{4}+\frac{3}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{3}{2}y+3-y=8$$

-\frac{3y}{2}'ны -y'га өстәгез.

$$-\frac{5}{2}y+3=8$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3 алыгыз.

$$-\frac{5}{2}y=5$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{5}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-2$$

-2'ны y өчен x=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

-\frac{3}{4}'ны -2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{3+3}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{3}{2}'ны \frac{3}{2}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=-2$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x+3y=6,2x-y=8$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-1\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 6+\frac{3}{10}\times 8\\\frac{1}{5}\times 6-\frac{2}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=3,y=-2$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x+3y=6,2x-y=8$$

4x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 6,4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 8$$

Гадиләштерегез.

$$8x+6y=12,8x-4y=32$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 8x-4y=32'ны 8x+6y=12'нан алыгыз.

$$8x-8x+6y+4y=12-32$$

8x'ны -8x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 8x һәм -8x шартлар кыскартылган.

$$6y+4y=12-32$$

6y'ны 4y'га өстәгез.

$$10y=12-32$$

12'ны -32'га өстәгез.

$$10y=-20$$

Ике якны 10-га бүлегез.

$$y=-2$$

-2'ны y өчен 2x-y=8'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x-\left(-2\right)=8$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2 алыгыз.

$$2x=6$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=-2$$