{l}{4x+3y=-15}{3x-2y=27} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = - 15 } \\ { 3 x - 2 y = 27 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=3$$

$$y=-9$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x+3y=-15,3x-2y=27$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x+3y=-15$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$4x=-3y-15$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-15\right)$$

\frac{1}{4}'ны -3y-15 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-3y-15}{4} куегыз, 3x-2y=27.

$$3\left(-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}\right)-2y=27$$

3'ны \frac{-3y-15}{4} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{9}{4}y-\frac{45}{4}-2y=27$$

-\frac{9y}{4}'ны -2y'га өстәгез.

$$-\frac{17}{4}y-\frac{45}{4}=27$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{45}{4} өстәгез.

$$-\frac{17}{4}y=\frac{153}{4}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{17}{4} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-9$$

-9'ны y өчен x=-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-9\right)-\frac{15}{4}$$

-\frac{3}{4}'ны -9 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{27-15}{4}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, -\frac{15}{4}'ны \frac{27}{4}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=-9$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x+3y=-15,3x-2y=27$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\27\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\3&-2\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\27\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\27\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-3\times 3}&-\frac{3}{4\left(-2\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-3\times 3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\27\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{4}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\27\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\left(-15\right)+\frac{3}{17}\times 27\\\frac{3}{17}\left(-15\right)-\frac{4}{17}\times 27\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-9\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=3,y=-9$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x+3y=-15,3x-2y=27$$

4x һәм 3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\left(-15\right),4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\times 27$$

Гадиләштерегез.

$$12x+9y=-45,12x-8y=108$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 12x-8y=108'ны 12x+9y=-45'нан алыгыз.

$$12x-12x+9y+8y=-45-108$$

12x'ны -12x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 12x һәм -12x шартлар кыскартылган.

$$9y+8y=-45-108$$

9y'ны 8y'га өстәгез.

$$17y=-45-108$$

-45'ны -108'га өстәгез.

$$17y=-153$$

Ике якны 17-га бүлегез.

$$y=-9$$

-9'ны y өчен 3x-2y=27'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$3x-2\left(-9\right)=27$$

-2'ны -9 тапкыр тапкырлагыз.

$$3x+18=27$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 18 алыгыз.

$$3x=9$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=-9$$