{l}{4x+3y+14=0}{2x+5y+16=0} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y + 14 = 0 } \\ { 2 x + 5 y + 16 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = -\frac{11}{7} = -1\frac{4}{7} \approx -1.571428571$$

$$y = -\frac{18}{7} = -2\frac{4}{7} \approx -2.571428571$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$4x+3y+14=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 14 алыгыз.

$$4x+3y=-14$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$4x=-3y-14$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-14\right)$$

\frac{1}{4}'ны -3y-14 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{3y}{4}-\frac{7}{2} куегыз, 2x+5y+16=0.

$$2\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}\right)+5y+16=0$$

2'ны -\frac{3y}{4}-\frac{7}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{3}{2}y-7+5y+16=0$$

-\frac{3y}{2}'ны 5y'га өстәгез.

$$\frac{7}{2}y-7+16=0$$

-7'ны 16'га өстәгез.

$$\frac{7}{2}y+9=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 9 алыгыз.

$$\frac{7}{2}y=-9$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{7}{2} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{18}{7}$$

-\frac{18}{7}'ны y өчен x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-\frac{18}{7}\right)-\frac{7}{2}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{3}{4}'ны -\frac{18}{7} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{27}{14}-\frac{7}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, -\frac{7}{2}'ны \frac{27}{14}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{11}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{4\times 5-3\times 2}&\frac{4}{4\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&-\frac{3}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-14\right)-\frac{3}{14}\left(-16\right)\\-\frac{1}{7}\left(-14\right)+\frac{2}{7}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{7}\\-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

4x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га тапкырлагыз.

$$2\times 4x+2\times 3y+2\times 14=0,4\times 2x+4\times 5y+4\times 16=0$$

Гадиләштерегез.

$$8x+6y+28=0,8x+20y+64=0$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 8x+20y+64=0'ны 8x+6y+28=0'нан алыгыз.

$$8x-8x+6y-20y+28-64=0$$

8x'ны -8x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 8x һәм -8x шартлар кыскартылган.

$$6y-20y+28-64=0$$

6y'ны -20y'га өстәгез.

$$-14y+28-64=0$$

28'ны -64'га өстәгез.

$$-14y-36=0$$

Тигезләмәнең ике ягына 36 өстәгез.

$$-14y=36$$

Ике якны -14-га бүлегез.

$$y=-\frac{18}{7}$$

-\frac{18}{7}'ны y өчен 2x+5y+16=0'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x+5\left(-\frac{18}{7}\right)+16=0$$

5'ны -\frac{18}{7} тапкыр тапкырлагыз.

$$2x-\frac{90}{7}+16=0$$

-\frac{90}{7}'ны 16'га өстәгез.

$$2x+\frac{22}{7}=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{22}{7} алыгыз.

$$2x=-\frac{22}{7}$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=-\frac{11}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$