{l}{30x+40y=1800}{40x+30y=3000} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 40 y = 1800 } \\ { 40 x + 30 y = 3000 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{660}{7} = 94\frac{2}{7} \approx 94.285714286$$

$$y = -\frac{180}{7} = -25\frac{5}{7} \approx -25.714285714$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$30x+40y=1800,40x+30y=3000$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$30x+40y=1800$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 40y алыгыз.

$$30x=-40y+1800$$

Ике якны 30-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{30}\left(-40y+1800\right)$$

\frac{1}{30}'ны -40y+1800 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{4}{3}y+60$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{4y}{3}+60 куегыз, 40x+30y=3000.

$$40\left(-\frac{4}{3}y+60\right)+30y=3000$$

40'ны -\frac{4y}{3}+60 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{160}{3}y+2400+30y=3000$$

-\frac{160y}{3}'ны 30y'га өстәгез.

$$-\frac{70}{3}y+2400=3000$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2400 алыгыз.

$$-\frac{70}{3}y=600$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{70}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{180}{7}$$

-\frac{180}{7}'ны y өчен x=-\frac{4}{3}y+60'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{180}{7}\right)+60$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{4}{3}'ны -\frac{180}{7} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{240}{7}+60$$

60'ны \frac{240}{7}'га өстәгез.

$$x=\frac{660}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{660}{7},y=-\frac{180}{7}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$30x+40y=1800,40x+30y=3000$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{30\times 30-40\times 40}&-\frac{40}{30\times 30-40\times 40}\\-\frac{40}{30\times 30-40\times 40}&\frac{30}{30\times 30-40\times 40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{70}&\frac{2}{35}\\\frac{2}{35}&-\frac{3}{70}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{70}\times 1800+\frac{2}{35}\times 3000\\\frac{2}{35}\times 1800-\frac{3}{70}\times 3000\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{660}{7}\\-\frac{180}{7}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{660}{7},y=-\frac{180}{7}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$30x+40y=1800,40x+30y=3000$$

30x һәм 40x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 40'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 30'га тапкырлагыз.

$$40\times 30x+40\times 40y=40\times 1800,30\times 40x+30\times 30y=30\times 3000$$

Гадиләштерегез.

$$1200x+1600y=72000,1200x+900y=90000$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 1200x+900y=90000'ны 1200x+1600y=72000'нан алыгыз.

$$1200x-1200x+1600y-900y=72000-90000$$

1200x'ны -1200x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 1200x һәм -1200x шартлар кыскартылган.

$$1600y-900y=72000-90000$$

1600y'ны -900y'га өстәгез.

$$700y=72000-90000$$

72000'ны -90000'га өстәгез.

$$700y=-18000$$

Ике якны 700-га бүлегез.

$$y=-\frac{180}{7}$$

-\frac{180}{7}'ны y өчен 40x+30y=3000'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$40x+30\left(-\frac{180}{7}\right)=3000$$

30'ны -\frac{180}{7} тапкыр тапкырлагыз.

$$40x-\frac{5400}{7}=3000$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{5400}{7} өстәгез.

$$40x=\frac{26400}{7}$$

Ике якны 40-га бүлегез.

$$x=\frac{660}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{660}{7},y=-\frac{180}{7}$$