{l}{30x+15y=675}{42x+20y=940} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 15 y = 675 } \\ { 42 x + 20 y = 940 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=20$$

$$y=5$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$30x+15y=675$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 15y алыгыз.

$$30x=-15y+675$$

Ике якны 30-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)$$

\frac{1}{30}'ны -15y+675 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-y+45}{2} куегыз, 42x+20y=940.

$$42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940$$

42'ны \frac{-y+45}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$-21y+945+20y=940$$

-21y'ны 20y'га өстәгез.

$$-y+945=940$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 945 алыгыз.

$$-y=-5$$

Ике якны -1-га бүлегез.

$$y=5$$

5'ны y өчен x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}$$

-\frac{1}{2}'ны 5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-5+45}{2}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{45}{2}'ны -\frac{5}{2}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=20$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=20,y=5$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=20,y=5$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

30x һәм 42x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 42'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 30'га тапкырлагыз.

$$42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940$$

Гадиләштерегез.

$$1260x+630y=28350,1260x+600y=28200$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 1260x+600y=28200'ны 1260x+630y=28350'нан алыгыз.

$$1260x-1260x+630y-600y=28350-28200$$

1260x'ны -1260x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 1260x һәм -1260x шартлар кыскартылган.

$$630y-600y=28350-28200$$

630y'ны -600y'га өстәгез.

$$30y=28350-28200$$

28350'ны -28200'га өстәгез.

$$30y=150$$

Ике якны 30-га бүлегез.

$$y=5$$

5'ны y өчен 42x+20y=940'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$42x+20\times 5=940$$

20'ны 5 тапкыр тапкырлагыз.

$$42x+100=940$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 100 алыгыз.

$$42x=840$$

Ике якны 42-га бүлегез.

$$x=20$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=20,y=5$$