{l}{3y-7x=-9}{5x+2y=23} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y - 7 x = - 9 } \\ { 5 x + 2 y = 23 } \end{array} \right.$$

y, x өчен чишелеш

$$x=3$$

$$y=4$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, y'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, y өчен чишегез.

$$3y-7x=-9$$

Тигезләмәнең ике ягына 7x өстәгез.

$$3y=7x-9$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$y=\frac{1}{3}\left(7x-9\right)$$

\frac{1}{3}'ны 7x-9 тапкыр тапкырлагыз.

$$y=\frac{7}{3}x-3$$

Башка тигезләмәдә y урынына \frac{7x}{3}-3 куегыз, 2y+5x=23.

$$2\left(\frac{7}{3}x-3\right)+5x=23$$

2'ны \frac{7x}{3}-3 тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{14}{3}x-6+5x=23$$

\frac{14x}{3}'ны 5x'га өстәгез.

$$\frac{29}{3}x-6=23$$

Тигезләмәнең ике ягына 6 өстәгез.

$$\frac{29}{3}x=29$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{29}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$x=3$$

3'ны x өчен y=\frac{7}{3}x-3'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры y өчен чишә аласыз.

$$y=\frac{7}{3}\times 3-3$$

\frac{7}{3}'ны 3 тапкыр тапкырлагыз.

$$y=7-3$$

-3'ны 7'га өстәгез.

$$y=4$$

Система хәзер чишелгән.

$$y=4,x=3$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-9\right)+\frac{7}{29}\times 23\\-\frac{2}{29}\left(-9\right)+\frac{3}{29}\times 23\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

y һәм x матрица элементларын чыгартыгыз.

$$y=4,x=3$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

3y һәм 2y тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$2\times 3y+2\left(-7\right)x=2\left(-9\right),3\times 2y+3\times 5x=3\times 23$$

Гадиләштерегез.

$$6y-14x=-18,6y+15x=69$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 6y+15x=69'ны 6y-14x=-18'нан алыгыз.

$$6y-6y-14x-15x=-18-69$$

6y'ны -6y'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 6y һәм -6y шартлар кыскартылган.

$$-14x-15x=-18-69$$

-14x'ны -15x'га өстәгез.

$$-29x=-18-69$$

-18'ны -69'га өстәгез.

$$-29x=-87$$

Ике якны -29-га бүлегез.

$$x=3$$

3'ны x өчен 2y+5x=23'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры y өчен чишә аласыз.

$$2y+5\times 3=23$$

5'ны 3 тапкыр тапкырлагыз.

$$2y+15=23$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 15 алыгыз.

$$2y=8$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$y=4$$

Система хәзер чишелгән.

$$y=4,x=3$$