{l}{3x-y=10}{2x+3y=3} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 10 } \\ { 2 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=3$$

$$y=-1$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x-y=10,2x+3y=3$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x-y=10$$

Тигезләмәнең ике ягына y өстәгез.

$$3x=y+10$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+10\right)$$

\frac{1}{3}'ны y+10 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{10+y}{3} куегыз, 2x+3y=3.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}\right)+3y=3$$

2'ны \frac{10+y}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{2}{3}y+\frac{20}{3}+3y=3$$

\frac{2y}{3}'ны 3y'га өстәгез.

$$\frac{11}{3}y+\frac{20}{3}=3$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{20}{3} алыгыз.

$$\frac{11}{3}y=-\frac{11}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{11}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-1$$

-1'ны y өчен x=\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{10}{3}$$

\frac{1}{3}'ны -1 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-1+10}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{10}{3}'ны -\frac{1}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=-1$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x-y=10,2x+3y=3$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\times 3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\times 3-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 3\\-\frac{2}{11}\times 10+\frac{3}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=3,y=-1$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x-y=10,2x+3y=3$$

3x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 10,3\times 2x+3\times 3y=3\times 3$$

Гадиләштерегез.

$$6x-2y=20,6x+9y=9$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 6x+9y=9'ны 6x-2y=20'нан алыгыз.

$$6x-6x-2y-9y=20-9$$

6x'ны -6x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 6x һәм -6x шартлар кыскартылган.

$$-2y-9y=20-9$$

-2y'ны -9y'га өстәгез.

$$-11y=20-9$$

20'ны -9'га өстәгез.

$$-11y=11$$

Ике якны -11-га бүлегез.

$$y=-1$$

-1'ны y өчен 2x+3y=3'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x+3\left(-1\right)=3$$

3'ны -1 тапкыр тапкырлагыз.

$$2x-3=3$$

Тигезләмәнең ике ягына 3 өстәгез.

$$2x=6$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=-1$$