{l}{3x-y=1}{5x-3y=1} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 1 } \\ { 5 x - 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x-y=1,5x-3y=1$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x-y=1$$

Тигезләмәнең ике ягына y өстәгез.

$$3x=y+1$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+1\right)$$

\frac{1}{3}'ны y+1 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{1+y}{3} куегыз, 5x-3y=1.

$$5\left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)-3y=1$$

5'ны \frac{1+y}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{5}{3}y+\frac{5}{3}-3y=1$$

\frac{5y}{3}'ны -3y'га өстәгез.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}=1$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{5}{3} алыгыз.

$$-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{4}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{1}{2}$$

\frac{1}{2}'ны y өчен x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{3}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{1}{3}'ны \frac{1}{2} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{1}{3}'ны \frac{1}{6}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{1}{2}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x-y=1,5x-3y=1$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3-1}{4}\\\frac{5-3}{4}\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x-y=1,5x-3y=1$$

3x һәм 5x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y=5,3\times 5x+3\left(-3\right)y=3$$

Гадиләштерегез.

$$15x-5y=5,15x-9y=3$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 15x-9y=3'ны 15x-5y=5'нан алыгыз.

$$15x-15x-5y+9y=5-3$$

15x'ны -15x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 15x һәм -15x шартлар кыскартылган.

$$-5y+9y=5-3$$

-5y'ны 9y'га өстәгез.

$$4y=5-3$$

5'ны -3'га өстәгез.

$$4y=2$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$y=\frac{1}{2}$$

\frac{1}{2}'ны y өчен 5x-3y=1'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$5x-3\times \frac{1}{2}=1$$

-3'ны \frac{1}{2} тапкыр тапкырлагыз.

$$5x-\frac{3}{2}=1$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{3}{2} өстәгез.

$$5x=\frac{5}{2}$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{2}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$