{l}{3x-8y=9}{4x+3y=-10} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x + 3 y = - 10 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = -\frac{53}{41} = -1\frac{12}{41} \approx -1.292682927$$

$$y = -\frac{66}{41} = -1\frac{25}{41} \approx -1.609756098$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x-8y=9$$

Тигезләмәнең ике ягына 8y өстәгез.

$$3x=8y+9$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(8y+9\right)$$

\frac{1}{3}'ны 8y+9 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{8}{3}y+3$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{8y}{3}+3 куегыз, 4x+3y=-10.

$$4\left(\frac{8}{3}y+3\right)+3y=-10$$

4'ны \frac{8y}{3}+3 тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{32}{3}y+12+3y=-10$$

\frac{32y}{3}'ны 3y'га өстәгез.

$$\frac{41}{3}y+12=-10$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 12 алыгыз.

$$\frac{41}{3}y=-22$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{41}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=-\frac{66}{41}$$

-\frac{66}{41}'ны y өчен x=\frac{8}{3}y+3'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{8}{3}\left(-\frac{66}{41}\right)+3$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, \frac{8}{3}'ны -\frac{66}{41} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{176}{41}+3$$

3'ны -\frac{176}{41}'га өстәгез.

$$x=-\frac{53}{41}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}&\frac{8}{41}\\-\frac{4}{41}&\frac{3}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}\times 9+\frac{8}{41}\left(-10\right)\\-\frac{4}{41}\times 9+\frac{3}{41}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{53}{41}\\-\frac{66}{41}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

3x һәм 4x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$4\times 3x+4\left(-8\right)y=4\times 9,3\times 4x+3\times 3y=3\left(-10\right)$$

Гадиләштерегез.

$$12x-32y=36,12x+9y=-30$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 12x+9y=-30'ны 12x-32y=36'нан алыгыз.

$$12x-12x-32y-9y=36+30$$

12x'ны -12x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 12x һәм -12x шартлар кыскартылган.

$$-32y-9y=36+30$$

-32y'ны -9y'га өстәгез.

$$-41y=36+30$$

36'ны 30'га өстәгез.

$$-41y=66$$

Ике якны -41-га бүлегез.

$$y=-\frac{66}{41}$$

-\frac{66}{41}'ны y өчен 4x+3y=-10'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$4x+3\left(-\frac{66}{41}\right)=-10$$

3'ны -\frac{66}{41} тапкыр тапкырлагыз.

$$4x-\frac{198}{41}=-10$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{198}{41} өстәгез.

$$4x=-\frac{212}{41}$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$x=-\frac{53}{41}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$