{l}{3x-6y=-15}{15x+25y=89} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 6 y = - 15 } \\ { 15 x + 25 y = 89 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{53}{55}\approx 0.963636364$$

$$y = \frac{164}{55} = 2\frac{54}{55} \approx 2.981818182$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x-6y=-15,15x+25y=89$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x-6y=-15$$

Тигезләмәнең ике ягына 6y өстәгез.

$$3x=6y-15$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-15\right)$$

\frac{1}{3}'ны 6y-15 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=2y-5$$

Башка тигезләмәдә x урынына 2y-5 куегыз, 15x+25y=89.

$$15\left(2y-5\right)+25y=89$$

15'ны 2y-5 тапкыр тапкырлагыз.

$$30y-75+25y=89$$

30y'ны 25y'га өстәгез.

$$55y-75=89$$

Тигезләмәнең ике ягына 75 өстәгез.

$$55y=164$$

Ике якны 55-га бүлегез.

$$y=\frac{164}{55}$$

\frac{164}{55}'ны y өчен x=2y-5'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=2\times \frac{164}{55}-5$$

2'ны \frac{164}{55} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{328}{55}-5$$

-5'ны \frac{328}{55}'га өстәгез.

$$x=\frac{53}{55}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{53}{55},y=\frac{164}{55}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x-6y=-15,15x+25y=89$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\15&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\89\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-6\\15&25\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\15&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\15&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\15&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\89\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\15&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\89\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\15&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\89\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{3\times 25-\left(-6\times 15\right)}&-\frac{-6}{3\times 25-\left(-6\times 15\right)}\\-\frac{15}{3\times 25-\left(-6\times 15\right)}&\frac{3}{3\times 25-\left(-6\times 15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\89\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{33}&\frac{2}{55}\\-\frac{1}{11}&\frac{1}{55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\89\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{33}\left(-15\right)+\frac{2}{55}\times 89\\-\frac{1}{11}\left(-15\right)+\frac{1}{55}\times 89\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{53}{55}\\\frac{164}{55}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{53}{55},y=\frac{164}{55}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x-6y=-15,15x+25y=89$$

3x һәм 15x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 15'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$15\times 3x+15\left(-6\right)y=15\left(-15\right),3\times 15x+3\times 25y=3\times 89$$

Гадиләштерегез.

$$45x-90y=-225,45x+75y=267$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 45x+75y=267'ны 45x-90y=-225'нан алыгыз.

$$45x-45x-90y-75y=-225-267$$

45x'ны -45x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 45x һәм -45x шартлар кыскартылган.

$$-90y-75y=-225-267$$

-90y'ны -75y'га өстәгез.

$$-165y=-225-267$$

-225'ны -267'га өстәгез.

$$-165y=-492$$

Ике якны -165-га бүлегез.

$$y=\frac{164}{55}$$

\frac{164}{55}'ны y өчен 15x+25y=89'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$15x+25\times \frac{164}{55}=89$$

25'ны \frac{164}{55} тапкыр тапкырлагыз.

$$15x+\frac{820}{11}=89$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{820}{11} алыгыз.

$$15x=\frac{159}{11}$$

Ике якны 15-га бүлегез.

$$x=\frac{53}{55}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{53}{55},y=\frac{164}{55}$$