{l}{3x-5y=11}{x+3y=13} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 11 } \\ { x + 3 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=7$$

$$y=2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x-5y=11,x+3y=13$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x-5y=11$$

Тигезләмәнең ике ягына 5y өстәгез.

$$3x=5y+11$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+11\right)$$

\frac{1}{3}'ны 5y+11 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{11}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{5y+11}{3} куегыз, x+3y=13.

$$\frac{5}{3}y+\frac{11}{3}+3y=13$$

\frac{5y}{3}'ны 3y'га өстәгез.

$$\frac{14}{3}y+\frac{11}{3}=13$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{11}{3} алыгыз.

$$\frac{14}{3}y=\frac{28}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{14}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен x=\frac{5}{3}y+\frac{11}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{5}{3}\times 2+\frac{11}{3}$$

\frac{5}{3}'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{10+11}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{11}{3}'ны \frac{10}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=7$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=7,y=2$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x-5y=11,x+3y=13$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-5\\1&3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\13\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\13\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{3\times 3-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{3\times 3-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\13\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&\frac{5}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\13\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 11+\frac{5}{14}\times 13\\-\frac{1}{14}\times 11+\frac{3}{14}\times 13\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=7,y=2$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x-5y=11,x+3y=13$$

3x һәм x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 1'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$3x-5y=11,3x+3\times 3y=3\times 13$$

Гадиләштерегез.

$$3x-5y=11,3x+9y=39$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 3x+9y=39'ны 3x-5y=11'нан алыгыз.

$$3x-3x-5y-9y=11-39$$

3x'ны -3x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 3x һәм -3x шартлар кыскартылган.

$$-5y-9y=11-39$$

-5y'ны -9y'га өстәгез.

$$-14y=11-39$$

11'ны -39'га өстәгез.

$$-14y=-28$$

Ике якны -14-га бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен x+3y=13'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x+3\times 2=13$$

3'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x+6=13$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 6 алыгыз.

$$x=7$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=7,y=2$$