{l}{3x-2y=5}{11x+3y=39} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { 11 x + 3 y = 39 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=3$$

$$y=2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x-2y=5,11x+3y=39$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x-2y=5$$

Тигезләмәнең ике ягына 2y өстәгез.

$$3x=2y+5$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

\frac{1}{3}'ны 2y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{2y+5}{3} куегыз, 11x+3y=39.

$$11\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+3y=39$$

11'ны \frac{2y+5}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{22}{3}y+\frac{55}{3}+3y=39$$

\frac{22y}{3}'ны 3y'га өстәгез.

$$\frac{31}{3}y+\frac{55}{3}=39$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{55}{3} алыгыз.

$$\frac{31}{3}y=\frac{62}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{31}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{2}{3}\times 2+\frac{5}{3}$$

\frac{2}{3}'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{4+5}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{3}'ны \frac{4}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=2$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x-2y=5,11x+3y=39$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\11&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\39\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\11&3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\11&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\11&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\11&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\39\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\11&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\39\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\11&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\39\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 11\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 11\right)}\\-\frac{11}{3\times 3-\left(-2\times 11\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\39\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{11}{31}&\frac{3}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\39\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{31}\times 5+\frac{2}{31}\times 39\\-\frac{11}{31}\times 5+\frac{3}{31}\times 39\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=3,y=2$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x-2y=5,11x+3y=39$$

3x һәм 11x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 11'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$11\times 3x+11\left(-2\right)y=11\times 5,3\times 11x+3\times 3y=3\times 39$$

Гадиләштерегез.

$$33x-22y=55,33x+9y=117$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 33x+9y=117'ны 33x-22y=55'нан алыгыз.

$$33x-33x-22y-9y=55-117$$

33x'ны -33x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 33x һәм -33x шартлар кыскартылган.

$$-22y-9y=55-117$$

-22y'ны -9y'га өстәгез.

$$-31y=55-117$$

55'ны -117'га өстәгез.

$$-31y=-62$$

Ике якны -31-га бүлегез.

$$y=2$$

2'ны y өчен 11x+3y=39'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$11x+3\times 2=39$$

3'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$11x+6=39$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 6 алыгыз.

$$11x=33$$

Ике якны 11-га бүлегез.

$$x=3$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=3,y=2$$