{l}{3x-2y=5}{-3x+4y=-9} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 3 x + 4 y = - 9 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=-2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x-2y=5$$

Тигезләмәнең ике ягына 2y өстәгез.

$$3x=2y+5$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

\frac{1}{3}'ны 2y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{2y+5}{3} куегыз, -3x+4y=-9.

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+4y=-9$$

-3'ны \frac{2y+5}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-2y-5+4y=-9$$

-2y'ны 4y'га өстәгез.

$$2y-5=-9$$

Тигезләмәнең ике ягына 5 өстәгез.

$$2y=-4$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$y=-2$$

-2'ны y өчен x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{5}{3}$$

\frac{2}{3}'ны -2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-4+5}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{3}'ны -\frac{4}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{1}{3}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 5+\frac{1}{3}\left(-9\right)\\\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-2\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

3x һәм -3x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -3'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3\times 5,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\left(-9\right)$$

Гадиләштерегез.

$$-9x+6y=-15,-9x+12y=-27$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -9x+12y=-27'ны -9x+6y=-15'нан алыгыз.

$$-9x+9x+6y-12y=-15+27$$

-9x'ны 9x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -9x һәм 9x шартлар кыскартылган.

$$6y-12y=-15+27$$

6y'ны -12y'га өстәгез.

$$-6y=-15+27$$

-15'ны 27'га өстәгез.

$$-6y=12$$

Ике якны -6-га бүлегез.

$$y=-2$$

-2'ны y өчен -3x+4y=-9'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$-3x+4\left(-2\right)=-9$$

4'ны -2 тапкыр тапкырлагыз.

$$-3x-8=-9$$

Тигезләмәнең ике ягына 8 өстәгез.

$$-3x=-1$$

Ике якны -3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$