{l}{3x+y=450}{2x+3y=650} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 450 } \\ { 2 x + 3 y = 650 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=100$$

$$y=150$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+y=450,2x+3y=650$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+y=450$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$3x=-y+450$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+450\right)$$

\frac{1}{3}'ны -y+450 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{3}y+150$$

Башка тигезләмәдә x урынына -\frac{y}{3}+150 куегыз, 2x+3y=650.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+150\right)+3y=650$$

2'ны -\frac{y}{3}+150 тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{2}{3}y+300+3y=650$$

-\frac{2y}{3}'ны 3y'га өстәгез.

$$\frac{7}{3}y+300=650$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 300 алыгыз.

$$\frac{7}{3}y=350$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган \frac{7}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=150$$

150'ны y өчен x=-\frac{1}{3}y+150'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}\times 150+150$$

-\frac{1}{3}'ны 150 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-50+150$$

150'ны -50'га өстәгез.

$$x=100$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=100,y=150$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+y=450,2x+3y=650$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}450\\650\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\650\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\650\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\650\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{1}{3\times 3-2}\\-\frac{2}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\650\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\650\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 450-\frac{1}{7}\times 650\\-\frac{2}{7}\times 450+\frac{3}{7}\times 650\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\150\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=100,y=150$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+y=450,2x+3y=650$$

3x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$2\times 3x+2y=2\times 450,3\times 2x+3\times 3y=3\times 650$$

Гадиләштерегез.

$$6x+2y=900,6x+9y=1950$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 6x+9y=1950'ны 6x+2y=900'нан алыгыз.

$$6x-6x+2y-9y=900-1950$$

6x'ны -6x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 6x һәм -6x шартлар кыскартылган.

$$2y-9y=900-1950$$

2y'ны -9y'га өстәгез.

$$-7y=900-1950$$

900'ны -1950'га өстәгез.

$$-7y=-1050$$

Ике якны -7-га бүлегез.

$$y=150$$

150'ны y өчен 2x+3y=650'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x+3\times 150=650$$

3'ны 150 тапкыр тапкырлагыз.

$$2x+450=650$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 450 алыгыз.

$$2x=200$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=100$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=100,y=150$$