{l}{3x+y=11}{-4x-y=11} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 11 } \\ { - 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=-22$$

$$y=77$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+y=11$$

Тигезләмәнең ике ягыннан y алыгыз.

$$3x=-y+11$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+11\right)$$

\frac{1}{3}'ны -y+11 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-y+11}{3} куегыз, -4x-y=11.

$$-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)-y=11$$

-4'ны \frac{-y+11}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$\frac{4}{3}y-\frac{44}{3}-y=11$$

\frac{4y}{3}'ны -y'га өстәгез.

$$\frac{1}{3}y-\frac{44}{3}=11$$

Тигезләмәнең ике ягына \frac{44}{3} өстәгез.

$$\frac{1}{3}y=\frac{77}{3}$$

Ике якны 3-га тапкырлагыз.

$$y=77$$

77'ны y өчен x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}\times 77+\frac{11}{3}$$

-\frac{1}{3}'ны 77 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-77+11}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{11}{3}'ны -\frac{77}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-22$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-22,y=77$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11-11\\4\times 11+3\times 11\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\77\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=-22,y=77$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

3x һәм -4x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны -4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$-4\times 3x-4y=-4\times 11,3\left(-4\right)x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

Гадиләштерегез.

$$-12x-4y=-44,-12x-3y=33$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, -12x-3y=33'ны -12x-4y=-44'нан алыгыз.

$$-12x+12x-4y+3y=-44-33$$

-12x'ны 12x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, -12x һәм 12x шартлар кыскартылган.

$$-4y+3y=-44-33$$

-4y'ны 3y'га өстәгез.

$$-y=-44-33$$

-44'ны -33'га өстәгез.

$$-y=-77$$

Ике якны -1-га бүлегез.

$$y=77$$

77'ны y өчен -4x-y=11'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$-4x-77=11$$

Тигезләмәнең ике ягына 77 өстәгез.

$$-4x=88$$

Ике якны -4-га бүлегез.

$$x=-22$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=-22,y=77$$