{l}{3x+6y=24}{9x+5y=68} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 24 } \\ { 9 x + 5 y = 68 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{96}{13} = 7\frac{5}{13} \approx 7.384615385$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+6y=24$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 6y алыгыз.

$$3x=-6y+24$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+24\right)$$

\frac{1}{3}'ны -6y+24 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-2y+8$$

Башка тигезләмәдә x урынына -2y+8 куегыз, 9x+5y=68.

$$9\left(-2y+8\right)+5y=68$$

9'ны -2y+8 тапкыр тапкырлагыз.

$$-18y+72+5y=68$$

-18y'ны 5y'га өстәгез.

$$-13y+72=68$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 72 алыгыз.

$$-13y=-4$$

Ике якны -13-га бүлегез.

$$y=\frac{4}{13}$$

\frac{4}{13}'ны y өчен x=-2y+8'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-2\times \frac{4}{13}+8$$

-2'ны \frac{4}{13} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{8}{13}+8$$

8'ны -\frac{8}{13}'га өстәгез.

$$x=\frac{96}{13}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{3\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{3\times 5-6\times 9}&\frac{3}{3\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}\times 24+\frac{2}{13}\times 68\\\frac{3}{13}\times 24-\frac{1}{13}\times 68\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

3x һәм 9x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 9'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$9\times 3x+9\times 6y=9\times 24,3\times 9x+3\times 5y=3\times 68$$

Гадиләштерегез.

$$27x+54y=216,27x+15y=204$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 27x+15y=204'ны 27x+54y=216'нан алыгыз.

$$27x-27x+54y-15y=216-204$$

27x'ны -27x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 27x һәм -27x шартлар кыскартылган.

$$54y-15y=216-204$$

54y'ны -15y'га өстәгез.

$$39y=216-204$$

216'ны -204'га өстәгез.

$$39y=12$$

Ике якны 39-га бүлегез.

$$y=\frac{4}{13}$$

\frac{4}{13}'ны y өчен 9x+5y=68'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$9x+5\times \frac{4}{13}=68$$

5'ны \frac{4}{13} тапкыр тапкырлагыз.

$$9x+\frac{20}{13}=68$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{20}{13} алыгыз.

$$9x=\frac{864}{13}$$

Ике якны 9-га бүлегез.

$$x=\frac{96}{13}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$