{l}{3x+4y=5}{5x+5y=7} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 5 } \\ { 5 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+4y=5$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 4y алыгыз.

$$3x=-4y+5$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+5\right)$$

\frac{1}{3}'ны -4y+5 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-4y+5}{3} куегыз, 5x+5y=7.

$$5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}\right)+5y=7$$

5'ны \frac{-4y+5}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{20}{3}y+\frac{25}{3}+5y=7$$

-\frac{20y}{3}'ны 5y'га өстәгез.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{25}{3}=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{25}{3} алыгыз.

$$-\frac{5}{3}y=-\frac{4}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{5}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{4}{5}$$

\frac{4}{5}'ны y өчен x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{4}{5}+\frac{5}{3}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{4}{3}'ны \frac{4}{5} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{16}{15}+\frac{5}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{5}{3}'ны -\frac{16}{15}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{3}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-4\times 5}&-\frac{4}{3\times 5-4\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-4\times 5}&\frac{3}{3\times 5-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{4}{5}\\1&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5+\frac{4}{5}\times 7\\5-\frac{3}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

3x һәм 5x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 5'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$5\times 3x+5\times 4y=5\times 5,3\times 5x+3\times 5y=3\times 7$$

Гадиләштерегез.

$$15x+20y=25,15x+15y=21$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 15x+15y=21'ны 15x+20y=25'нан алыгыз.

$$15x-15x+20y-15y=25-21$$

15x'ны -15x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 15x һәм -15x шартлар кыскартылган.

$$20y-15y=25-21$$

20y'ны -15y'га өстәгез.

$$5y=25-21$$

25'ны -21'га өстәгез.

$$5y=4$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$y=\frac{4}{5}$$

\frac{4}{5}'ны y өчен 5x+5y=7'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$5x+5\times \frac{4}{5}=7$$

5'ны \frac{4}{5} тапкыр тапкырлагыз.

$$5x+4=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 4 алыгыз.

$$5x=3$$

Ике якны 5-га бүлегез.

$$x=\frac{3}{5}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$