{l}{3x+3y=4}{8x-11y=17} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 3 y = 4 } \\ { 8 x - 11 y = 17 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+3y=4,8x-11y=17$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+3y=4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3y алыгыз.

$$3x=-3y+4$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-3y+4\right)$$

\frac{1}{3}'ны -3y+4 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-y+\frac{4}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына -y+\frac{4}{3} куегыз, 8x-11y=17.

$$8\left(-y+\frac{4}{3}\right)-11y=17$$

8'ны -y+\frac{4}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-8y+\frac{32}{3}-11y=17$$

-8y'ны -11y'га өстәгез.

$$-19y+\frac{32}{3}=17$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{32}{3} алыгыз.

$$-19y=\frac{19}{3}$$

Ике якны -19-га бүлегез.

$$y=-\frac{1}{3}$$

-\frac{1}{3}'ны y өчен x=-y+\frac{4}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{4}{3}$$

-1'ны -\frac{1}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{1+4}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{4}{3}'ны \frac{1}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{5}{3}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+3y=4,8x-11y=17$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&3\\8&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&3\\8&-11\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\8&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&3\\8&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\8&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\17\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\8&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\17\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&3\\8&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{3\left(-11\right)-3\times 8}&-\frac{3}{3\left(-11\right)-3\times 8}\\-\frac{8}{3\left(-11\right)-3\times 8}&\frac{3}{3\left(-11\right)-3\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\17\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{57}&\frac{1}{19}\\\frac{8}{57}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\17\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{57}\times 4+\frac{1}{19}\times 17\\\frac{8}{57}\times 4-\frac{1}{19}\times 17\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+3y=4,8x-11y=17$$

3x һәм 8x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 8'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$8\times 3x+8\times 3y=8\times 4,3\times 8x+3\left(-11\right)y=3\times 17$$

Гадиләштерегез.

$$24x+24y=32,24x-33y=51$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 24x-33y=51'ны 24x+24y=32'нан алыгыз.

$$24x-24x+24y+33y=32-51$$

24x'ны -24x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 24x һәм -24x шартлар кыскартылган.

$$24y+33y=32-51$$

24y'ны 33y'га өстәгез.

$$57y=32-51$$

32'ны -51'га өстәгез.

$$57y=-19$$

Ике якны 57-га бүлегез.

$$y=-\frac{1}{3}$$

-\frac{1}{3}'ны y өчен 8x-11y=17'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$8x-11\left(-\frac{1}{3}\right)=17$$

-11'ны -\frac{1}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$8x+\frac{11}{3}=17$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{11}{3} алыгыз.

$$8x=\frac{40}{3}$$

Ике якны 8-га бүлегез.

$$x=\frac{5}{3}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$