{l}{3x+2y=98}{8x+3y=158} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 98 } \\ { 8 x + 3 y = 158 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$y = \frac{310}{7} = 44\frac{2}{7} \approx 44.285714286$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+2y=98,8x+3y=158$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+2y=98$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2y алыгыз.

$$3x=-2y+98$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+98\right)$$

\frac{1}{3}'ны -2y+98 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{98}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-2y+98}{3} куегыз, 8x+3y=158.

$$8\left(-\frac{2}{3}y+\frac{98}{3}\right)+3y=158$$

8'ны \frac{-2y+98}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{784}{3}+3y=158$$

-\frac{16y}{3}'ны 3y'га өстәгез.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{784}{3}=158$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{784}{3} алыгыз.

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{310}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{7}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$y=\frac{310}{7}$$

\frac{310}{7}'ны y өчен x=-\frac{2}{3}y+\frac{98}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{310}{7}+\frac{98}{3}$$

Санаучыны санаучыга һәм ваклаучыны ваклаучыга тапкырлап, -\frac{2}{3}'ны \frac{310}{7} тапкыр тапкырлагыз. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=-\frac{620}{21}+\frac{98}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{98}{3}'ны -\frac{620}{21}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=\frac{22}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{310}{7}$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+2y=98,8x+3y=158$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\8&3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\times 8}&-\frac{2}{3\times 3-2\times 8}\\-\frac{8}{3\times 3-2\times 8}&\frac{3}{3\times 3-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{8}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}98\\158\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}\times 98+\frac{2}{7}\times 158\\\frac{8}{7}\times 98-\frac{3}{7}\times 158\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\\frac{310}{7}\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{310}{7}$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+2y=98,8x+3y=158$$

3x һәм 8x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 8'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$8\times 3x+8\times 2y=8\times 98,3\times 8x+3\times 3y=3\times 158$$

Гадиләштерегез.

$$24x+16y=784,24x+9y=474$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 24x+9y=474'ны 24x+16y=784'нан алыгыз.

$$24x-24x+16y-9y=784-474$$

24x'ны -24x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 24x һәм -24x шартлар кыскартылган.

$$16y-9y=784-474$$

16y'ны -9y'га өстәгез.

$$7y=784-474$$

784'ны -474'га өстәгез.

$$7y=310$$

Ике якны 7-га бүлегез.

$$y=\frac{310}{7}$$

\frac{310}{7}'ны y өчен 8x+3y=158'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$8x+3\times \frac{310}{7}=158$$

3'ны \frac{310}{7} тапкыр тапкырлагыз.

$$8x+\frac{930}{7}=158$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{930}{7} алыгыз.

$$8x=\frac{176}{7}$$

Ике якны 8-га бүлегез.

$$x=\frac{22}{7}$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{310}{7}$$