{l}{3x+2y=7}{2x+y=4} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y өчен чишелеш

$$x=1$$

$$y=2$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3x+2y=7,2x+y=4$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, x'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, x өчен чишегез.

$$3x+2y=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2y алыгыз.

$$3x=-2y+7$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

\frac{1}{3}'ны -2y+7 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

Башка тигезләмәдә x урынына \frac{-2y+7}{3} куегыз, 2x+y=4.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)+y=4$$

2'ны \frac{-2y+7}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{14}{3}+y=4$$

-\frac{4y}{3}'ны y'га өстәгез.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{14}{3}=4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{14}{3} алыгыз.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Ике якны -3-га тапкырлагыз.

$$y=2$$

2'ны y өчен x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{7}{3}$$

-\frac{2}{3}'ны 2 тапкыр тапкырлагыз.

$$x=\frac{-4+7}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{7}{3}'ны -\frac{4}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$x=1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=1,y=2$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3x+2y=7,2x+y=4$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7+2\times 4\\2\times 7-3\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

x һәм y матрица элементларын чыгартыгыз.

$$x=1,y=2$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3x+2y=7,2x+y=4$$

3x һәм 2x тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 2'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 7,3\times 2x+3y=3\times 4$$

Гадиләштерегез.

$$6x+4y=14,6x+3y=12$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 6x+3y=12'ны 6x+4y=14'нан алыгыз.

$$6x-6x+4y-3y=14-12$$

6x'ны -6x'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 6x һәм -6x шартлар кыскартылган.

$$4y-3y=14-12$$

4y'ны -3y'га өстәгез.

$$y=14-12$$

14'ны -12'га өстәгез.

$$y=2$$

2'ны y өчен 2x+y=4'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры x өчен чишә аласыз.

$$2x+2=4$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 2 алыгыз.

$$2x=2$$

Ике якны 2-га бүлегез.

$$x=1$$

Система хәзер чишелгән.

$$x=1,y=2$$