{l}{3m+4n=7}{4m-3n-1=0} хәл итегез

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 m + 4 n = 7 } \\ { 4 m - 3 n - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

m, n өчен чишелеш

$$m=1$$

$$n=1$$

Алыштыруны куллану адымнары

Тигезләмәләр парын алмаштыруны кулланып чишү өчен, башта тигезләмәләрнең берсен алмашынучанлыларның берсе өчен чишегез. Аннары әлеге алмашынучан өчен нәтиҗәне башка тигезләмәгә куегыз.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

Тигезләмәләрнең берсен сайлагыз һәм аны, m'ны тигезләү тамгасының сул ягына аерып, m өчен чишегез.

$$3m+4n=7$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 4n алыгыз.

$$3m=-4n+7$$

Ике якны 3-га бүлегез.

$$m=\frac{1}{3}\left(-4n+7\right)$$

\frac{1}{3}'ны -4n+7 тапкыр тапкырлагыз.

$$m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}$$

Башка тигезләмәдә m урынына \frac{-4n+7}{3} куегыз, 4m-3n-1=0.

$$4\left(-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}\right)-3n-1=0$$

4'ны \frac{-4n+7}{3} тапкыр тапкырлагыз.

$$-\frac{16}{3}n+\frac{28}{3}-3n-1=0$$

-\frac{16n}{3}'ны -3n'га өстәгез.

$$-\frac{25}{3}n+\frac{28}{3}-1=0$$

\frac{28}{3}'ны -1'га өстәгез.

$$-\frac{25}{3}n+\frac{25}{3}=0$$

Тигезләмәнең ике ягыннан \frac{25}{3} алыгыз.

$$-\frac{25}{3}n=-\frac{25}{3}$$

Ике ягын да вакланманың кире зурлыгына тапкырлауга тиңдәш булган -\frac{25}{3} тигезләмәнең ике ягын да бүлегез.

$$n=1$$

1'ны n өчен m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры m өчен чишә аласыз.

$$m=\frac{-4+7}{3}$$

Гомуми ваклаучыны табып һәм санаучыларны өстәп, \frac{7}{3}'ны -\frac{4}{3}'га өстәгез. Аннары вакланманы мөмкин булган иң түбән элементка кадәр киметегез.

$$m=1$$

Система хәзер чишелгән.

$$m=1,n=1$$

Матрицаларны куллану адымнары

Тигезләмәләрне стандарт формага урнаштырыгыз, аннары тигезләмәләрнең системасын чишү өчен, матрицаларны кулланыгыз.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

Тигезләмәләрне матрица формасында языгыз.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right) кире матрицасына тигезләмәне сулга тапкырлагыз.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаны һәм аның кире кыйммәтен тапкырлау бердәйлек матрицасы була.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Сул як тигезләү тамгасында матрицаны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы өчен кире матрица - \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), шуңа күрә матрица тигезләмәсен матрицаны тапкырлау мәсьәләсе буларак яңадан язып була.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}&-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларны тапкырлагыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 7+\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}\times 7-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)$$

Арифметик гамәлләрне башкарыгыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

m һәм n матрица элементларын чыгартыгыз.

$$m=1,n=1$$

Бетерүне куллану адымнары

Бетерү ысулы белән чишү өчен, алмашынучанлыларның бер коэффициенты ике тигезләмәдә дә тиңдәш булырга тиеш, шулай итеп, бер тигезләмә икенчесеннән алынса, алмашынучан баш тартачак.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

3m һәм 4m тигез итү өчен, беренче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 4'га һәм икенче тигезләмәнең һәр ягындагы барлык элементларны 3'га тапкырлагыз.

$$4\times 3m+4\times 4n=4\times 7,3\times 4m+3\left(-3\right)n+3\left(-1\right)=0$$

Гадиләштерегез.

$$12m+16n=28,12m-9n-3=0$$

Тигезләү тамгасыннан һәр ягыннан охшаш элементларны алып, 12m-9n-3=0'ны 12m+16n=28'нан алыгыз.

$$12m-12m+16n+9n+3=28$$

12m'ны -12m'га өстәгез. Чишелергә мөмкин бер генә алмашынучанлы белән тигезләмәне калдырып, 12m һәм -12m шартлар кыскартылган.

$$16n+9n+3=28$$

16n'ны 9n'га өстәгез.

$$25n+3=28$$

Тигезләмәнең ике ягыннан 3 алыгыз.

$$25n=25$$

Ике якны 25-га бүлегез.

$$n=1$$

1'ны n өчен 4m-3n-1=0'да алыштырыгыз. Нәтиҗә тигезләмәнең эчендә бер генә алмашынучан булгач, сез турыдан-туры m өчен чишә аласыз.

$$4m-3-1=0$$

-3'ны -1'га өстәгез.

$$4m-4=0$$

Тигезләмәнең ике ягына 4 өстәгез.

$$4m=4$$

Ике якны 4-га бүлегез.

$$m=1$$

Система хәзер чишелгән.

$$m=1,n=1$$